무게중심과 수직

[출제의도] 선분의 내분점과 직선의 수직 조건을 활용한 수학 내적 문제 해결하기

직선 $\mathrm{BN}$과 직선 $\mathrm{LM}$의 교점을 $\mathrm{P}$라 할 때 직선 $\mathrm{BN}$이 선분 $\mathrm{AC}$의 수직이등분선이므로 점 $\mathrm{P}$는 선분 $\mathrm{LM}$의 중점이다. 따라서 점 $\mathrm{P}$의 좌표는 $\displaystyle \left( \frac{2 + 4}{2} , \frac{1 - 1}{2} \right) = ( 3 , 0 )$ $\mathrm{\triangle} ABC$의 무게중심 $\mathrm{G}$에 대하여 $\displaystyle \mathrm{\overline{BG}} = 2 \overline{GN}$이고 $\displaystyle \mathrm{\overline{NP}} = \overline{BP}$이므로 $\displaystyle \mathrm{\left( \overline{NP} + 4 \sqrt{2} \right)} : \left( \overline{NP} - 4 \sqrt{2} \right) = 2 : 1$ $\displaystyle \mathrm{\overline{NP}} = 12 \sqrt{2}$ $\displaystyle \mathrm{\overline{NP}} ^{2} = \mathit{(} a - 3 ) ^{2} + b ^{2} = ( 12 \sqrt{2} ) ^{2}$ …… ㉠ 한편 직선 $\mathrm{LM}$과 직선 $\mathrm{NP}$는 서로 수직이므로 $\displaystyle \frac{b}{a - 3} = 1$, $b = a - 3$ …… ㉡ 무게중심 $\mathrm{G}$가 제 $1$사분면에 있으므로 ㉠, ㉡에서 $a = 15 , b = 12$ 따라서 $ab = 180$