중학중학 미분류수능 기출기본 문제 (3점 중반)

무게중심과 평행선

문제

그림과 같이 BC‾=12\displaystyle {\overline{\mathrm{BC}}} = 12인 삼각형 ABC{\mathrm{ABC}}의 무게중심을 G{\mathrm{G}}라 하자. 점 G{\mathrm{G}}를 지나고 선분 BC{\mathrm{BC}}와 평행한 직선이 선분 AC{\mathrm{AC}}와 만나는 점을 D{\mathrm{D}}라 할 때, 선분 GD{\mathrm{GD}}의 길이는? [3점]

①72\displaystyle \frac{7}{2}②44③92\displaystyle \frac{9}{2}④55⑤112\displaystyle \frac{11}{2}

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②

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해설

직선 BG{\mathrm{BG}}와 선분 AC{\mathrm{AC}}의 교점을 E{\mathrm{E}}라 하자. 점 G{\mathrm{G}}가 삼각형 ABC{\mathrm{ABC}}의 무게중심이므로 BG‾:GE‾=2:1\displaystyle {\overline{\mathrm{BG}}} \mathit{:} {\overline{\mathrm{G} E}} \mathit{=} 2 : 1 두 삼각형 EGD{\mathrm{EGD}}, EBC{\mathrm{EBC}}에서 ∠GED\angle {\mathrm{G \mathrm{E} \mathrm{D}}}는 공통이고, 선분 GD{\mathrm{GD}}와 선분 BC{\mathrm{BC}}가 서로 평행하므로 ∠DGE=∠CBE\angle {\mathrm{D \mathrm{G} \mathrm{E}}} = \mathit{\angle} {\mathrm{CBE}}(동위각) 그러므로 두 삼각형 EGD{\mathrm{EGD}}, EBC{\mathrm{EBC}}는 서로 닮음이고, 닮음비는 EG‾:EB‾=1:3\displaystyle {\overline{\mathrm{EG}}} : {\overline{\mathrm{EB}}} = 1 : 3이다. 따라서 GD‾:BC‾=1:3\displaystyle {\overline{\mathrm{GD}}} : {\overline{\mathrm{BC}}} = 1 : 3이므로 GD‾\displaystyle {\overline{\mathrm{GD}}}=13×BC‾=13×12\displaystyle = \frac{1}{3} \times {\overline{\mathrm{BC}}} = \frac{1}{3} \times 12=4= 4

태그

#무게중심#닮음

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