무게중심과 넓이

[출제의도] 삼각형의 무게중심과 닮음을 이용하여 주어진 삼각형의 넓이를 구한다.

선분 $\mathrm{AB}$의 중점을 $\mathrm{M}$이라 하면 무게중심의 성질에 의해 네 점 $\mathrm{C}$, $\mathrm{G}$, $\mathrm{P}$, $\mathrm{M}$은 한 직선 위에 있다. 마찬가지로 선분 $\mathrm{AC}$의 중점을 $\mathrm{N}$이라 하면 무게중심의 성질에 의해 네 점 $\mathrm{B}$, $\mathrm{G}$, $\mathrm{Q}$, $\mathrm{N}$도 한 직선 위에 있다. 두 점 $\mathrm{M}$, $\mathrm{N}$은 각각 $\displaystyle \mathrm{\overline{AB}}$, $\displaystyle \mathrm{\overline{AC}}$의 중점이므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{BC}}} \parallel {\overline{\mathrm{MN}}}$이다. 삼각형 $\mathrm{MGN}$에서 $\displaystyle {\overline{\mathrm{GP}}} : {\overline{\mathrm{PM}}} = {\overline{\mathrm{GQ}}} : {\overline{\mathrm{QN}}}$ 이므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{PQ}}} \parallel {\overline{\mathrm{MN}}}$이고 $\displaystyle {\overline{\mathrm{PQ}}} \parallel {\overline{\mathrm{BC}}}$이다. 그러므로 두 삼각형 $\mathrm{GQP}$, $\mathrm{GBC}$는 닮음이다. 이제 닮음비를 구해 보자. 점 $\mathrm{P}$가 삼각형 $\mathrm{ABG}$의 무게중심이므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{GP}}} : {\overline{\mathrm{PM}}} = 2 : 1$ $\displaystyle {\overline{\mathrm{PM}}} = k$라 하면 $\displaystyle {\overline{\mathrm{GP}}} = 2 k$, $\displaystyle {\overline{\mathrm{GM}}} = 3 k$ 점 $\mathrm{G}$가 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 무게중심이므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{CG}}} : {\overline{\mathrm{GM}}} = 2 : 1$, $\displaystyle {\overline{\mathrm{GM}}} = 3 k$에서 $\displaystyle {\overline{\mathrm{CG}}} = 6 k$ 따라서 $\displaystyle {\overline{\mathrm{CG}}} : {\overline{\mathrm{GP}}} = 6 k : 2 k$$= 3 : 1$ 이므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{PQ}}} = \frac{1}{3} \times {\overline{\mathrm{BC}}}$ 선분 $\mathrm{PQ}$의 중점을 $\mathrm{H}$라 하고 선분 $\mathrm{BC}$의 중점을 $\mathrm{I}$라 하면 $\displaystyle {\overline{\mathrm{GI}}} = \frac{1}{3} \times {\overline{\mathrm{AI}}}$ 두 삼각형 $\mathrm{GQP}$, $\mathrm{GBC}$는 닮음이므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{GH}}} = \frac{1}{3} \times {\overline{\mathrm{GI}}}$에서 $\displaystyle {\overline{\mathrm{GH}}} = \frac{1}{9} \times {\overline{\mathrm{AI}}}$이므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{HI}}}$$\displaystyle \mathrm{=} {\overline{HG}} + {\overline{\mathrm{GI}}}$$\displaystyle = \frac{1}{9} \times {\overline{\mathrm{AI}}} + \frac{1}{3} \times {\overline{\mathrm{AI}}}$$\displaystyle = \frac{4}{9} \times {\overline{\mathrm{AI}}}$ 따라서 $\displaystyle {\overline{\mathrm{AH}}} = \frac{5}{9} \times {\overline{\mathrm{AI}}}$ 즉, 삼각형 $\mathrm{APQ}$는 삼각형 $\mathrm{ABC}$에 비해 밑변은 $\displaystyle \frac{1}{3}$배, 높이는 $\displaystyle \frac{5}{9}$배이므로 넓이는 $\displaystyle \frac{5}{27}$배이다. 따라서 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 넓이는 삼각형 $\mathrm{APQ}$의 넓이의 $\displaystyle \frac{27}{5}$배이므로 구하는 넓이는 $\displaystyle 30 \times \frac{27}{5} = 162$ [다른 풀이]

변 $\mathrm{AB}$의 중점을 $\mathrm{M}$이라 하면 점 $\mathrm{P}$, $\mathrm{G}$는 중선 $\mathrm{CM}$ 위의 점이고 $\displaystyle {\overline{\mathrm{CG}}} : {\overline{\mathrm{GM}}} = 2 : 1$, $\displaystyle {\overline{\mathrm{GP}}} : {\overline{\mathrm{PM}}} = 2 : 1$이다. 따라서 $\displaystyle {\overline{\mathrm{CG}}} : {\overline{\mathrm{GP}}} : {\overline{\mathrm{PM}}} = 6 : 2 : 1$ 마찬가지로 변 $\mathrm{AC}$의 중점을 $\mathrm{N}$이라 하면 $\displaystyle {\overline{\mathrm{BG}}} : {\overline{\mathrm{GQ}}} : {\overline{\mathrm{QN}}} = 6 : 2 : 1$ $\triangle \mathrm{GQP}$의 넓이를 $a$라 하자. $\triangle \mathrm{GQP}$와 $\triangle \mathrm{GNM}$은 닮음이고 닮음비가 $2 : 3$이므로 $\displaystyle \triangle \mathrm{GNM} = \left( \frac{3}{2} \right) ^{2} \mathit{a}$$\displaystyle = \frac{9}{4} \mathit{a}$ $\triangle \mathrm{GNM}$과 $\triangle \mathrm{GBC}$는 닮음이고 닮음비가 $1 : 2$이므로 $\displaystyle \triangle \mathrm{GBC} = 2 ^{2} \times \frac{9}{4} \mathit{a}$$= 9 a$ $\triangle \mathrm{MBC}$에서 $\displaystyle {\overline{\mathrm{CG}}} : {\overline{\mathrm{GM}}} = 2 : 1$이므로 $\displaystyle \triangle \mathrm{BGM} = \frac{1}{2} \times \triangle \mathrm{GBC} = \frac{9}{2} \mathit{a}$, $\displaystyle \triangle \mathrm{AMG} = \frac{9}{2} \mathit{a}$ $\mathrm{\triangle} AMG$에서 $\displaystyle {\overline{\mathrm{GP}}} : {\overline{\mathrm{PM}}} = 2 : 1$이므로 $\displaystyle \triangle \mathrm{APG} = \frac{2}{3} \times \triangle \mathrm{AMG} = 3 \mathit{a}$ $\mathrm{\square} APGQ$$= \mathrm{\triangle} APG + \triangle AGQ$ $= 6 \mathit{a}$ $\mathrm{\triangle} APQ$$\mathrm{=} \square APGQ - \triangle GQP$$= 6 a - a$$= 5 a$$= 30$ 따라서 $a = 6$이므로 $\left. \triangle \mathrm{ABC} = 3 \times \triangle \mathrm{GBC} \right.$$= 27 a$$= 162$