미적분Ⅱ급수수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

凹 모양 도형 넓이의 극한

문제

아래 그림과 같이 한 변의 길이가 $1$ 인 정사각형에서 한 변의 길이가 $\displaystyle \frac{1}{2}$ 인 정사각형을 잘라낸 후 남은 凹 모양의 도형을 $A _{1}$ 이라 하자. 한 변의 길이가 $\displaystyle \frac{1}{4}$ 인 정사각형에서 한 변의 길이가 $\displaystyle \frac{1}{8}$ 인 정사각형을 잘라낸 후 남은 凹 모양의 도형 $2$ 개를 $A _{1}$ 의 위쪽 두 변에 각각 붙인 도형을 $A _{2}$ 라 하자. 한 변의 길이가 $\displaystyle \frac{1}{16}$ 인 정사각형에서 한 변의 길이가 $\displaystyle \frac{1}{32}$ 인 정사각형을 잘라낸 후 남은 凹 모양의 도형 $4$ 개를 $A _{2}$ 의 위쪽 네 변에 각각 붙인 도형을 $A _{3}$ 이라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 얻은 $n$ 번째 도형을 $A _{n}$ 이라 하고 그 넓이를 $S _{n}$ 이라 하자. $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} S _{n} = \frac{q}{p}$ 라 할 때, $p + q$ 의 값을 구하시오. (단, $p$ 와 $q$ 는 서로소인 자연수이다.) [4점]

$A _{1}$

$A _{2}$

$A _{3}$

미분과 적분

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13

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해설

도형 $A _{1} , A _{2} , A _{3} , \cdots$ 의 넓이를 각각 $S _{1} , S _{2} , S _{3} , \cdots$ 라 하면 $\displaystyle S _{1} = 1 - \left( \frac{1}{2} \right) ^{2} = \frac{3}{4}$ $\displaystyle S _{2} = \frac{3}{4} + 2 \cdot \left( \frac{1}{4} \right) ^{2} \frac{3}{4}$ $\displaystyle S _{3} = \frac{3}{4} + 2 \cdot \left( \frac{1}{4} \right) ^{2} \frac{3}{4} + 2 ^{2} \cdot \left( \frac{1}{4} \right) ^{4} \frac{3}{4} + \cdots$ 이므로 $S _{n}$ 은 첫째항이 $\displaystyle \frac{3}{4}$ 이고, 공비가 $\displaystyle 2 \left( \frac{1}{4} \right) ^{2} = \frac{1}{8}$ 인 등비수열의 합이므로 $\displaystyle \lim\limits _{n\rightarrow \infty} S _{n} = \frac{\frac{3}{4}}{1 - \frac{1}{8}} = \frac{6}{7}$ $\therefore p = 7 , q = 6$ $\therefore p + q = 13$

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