모서리 위 점 거리 제곱합 최소

$D ( 0 , 0 , 2 )$ $B ( 0 , 1 , 0 )$

직선 $BD$의 방정식은 $\displaystyle \frac{y}{1} = \frac{z - 2}{- 2} , x = 0$이고, 직선 위의 임의의 점 $P$의 좌표를 $( 0 , t , - 2 t + 2 )$로 놓으면 $\displaystyle \overline{PA} ^{2} + \overline{PC} ^{2}$$= 2 ^{2} + ( - t ) ^{2} + ( 2 t - 2 ) ^{2}$$+ ( - 3 ) ^{2} + ( - t ) ^{2} + ( 2 t - 2 ) ^{2}$ $= 10 t ^{2} - 16 t + 21$$\displaystyle = 10 \left( t - \frac{4}{5} \right) ^{2} + \frac{73}{5}$ $\displaystyle t = \frac{4}{5}$일 때, $\displaystyle \overline{PA} ^{2} + \overline{PC} ^{2}$의 값은 최소이고, 점 $P$의 좌표는 $\displaystyle \left( 0 , \frac{4}{5} , \frac{2}{5} \right)$이므로 점 $P$는 선분 $BD$ 위에 있다. ∴ $\displaystyle a + b + c = 0 + \frac{4}{5} + \frac{2}{5} = \frac{6}{5}$ ∴ $p + q = 5 + 6 = 11$