미적분Ⅱ여러 가지 미분법수능 기출기본 문제 (3점 중반)

몫의 미분법

문제

실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 f(x)f ( x )에 대하여 함수 g(x)g ( x )를 g(x)=f(x)(ex+1)2\displaystyle g ( x ) = \frac{f ( x )}{\left( e ^{x} + 1 \right) ^{2}} 라 하자. f′(0)−f(0)=2f' ( 0 ) - f ( 0 ) = 2일 때, g′(0)g' ( 0 )의 값은? [3점] ①14\displaystyle \frac{1}{4}②38\displaystyle \frac{3}{8}③12\displaystyle \frac{1}{2}④58\displaystyle \frac{5}{8}⑤34\displaystyle \frac{3}{4}

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③

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해설

[출제의도] 몫의 미분법을 이용하여 미분계수를 구할 수 있는가? g(x)=f(x)(ex+1)2\displaystyle g ( x ) = \frac{f ( x )}{\left( e ^{x} + 1 \right) ^{2}}이므로 g′(x)=f′(x)×(ex+1)2−f(x)×2(ex+1)ex(ex+1)4\displaystyle g' ( x ) = \frac{f' ( x ) \times \left( e ^{x} + 1 \right) ^{2} - f ( x ) \times 2 \left( e ^{x} + 1 \right) e ^{x}}{\left( e ^{x} + 1 \right) ^{4}} =f′(x)×(ex+1)−2exf(x)(ex+1)3\displaystyle = \frac{f' ( x ) \times \left( e ^{x} + 1 \right) - 2 e ^{x} f ( x )}{\left( e ^{x} + 1 \right) ^{3}} 따라서 g′(0)=f′(0)×(e0+1)−2e0f(0)(e0+1)3\displaystyle g' ( 0 ) = \frac{f' ( 0 ) \times \left( e ^{0} + 1 \right) - 2 e ^{0} f ( 0 )}{\left( e ^{0} + 1 \right) ^{3}} =2f′(0)−2f(0)23\displaystyle = \frac{2 f' ( 0 ) - 2 f ( 0 )}{2 ^{3}}=f′(0)−f(0)4\displaystyle = \frac{f' ( 0 ) - f ( 0 )}{4}=24\displaystyle = \frac{2}{4}=12\displaystyle = \frac{1}{2}

태그

#몫의 미분법#지수함수의 미분

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