미적분Ⅱ여러 가지 미분법수능 기출기본 문제 (3점 중반)

몫의 미분법

문제

실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 f(x)f ( x )가 f(1)=6f ( 1 ) = 6, f′(1)=5f' ( 1 ) = 5를 만족시킬 때, 함수 g(x)=f(x)x2+2\displaystyle g ( x ) = \frac{f ( x )}{x ^{2} + 2}에 대하여 lim⁡x→1g(x)−2x−1\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 1} {} \frac{g ( x ) - 2}{x - 1}의 값은? [3점] ①13\displaystyle \frac{1}{3}②23\displaystyle \frac{2}{3}③1④43\displaystyle \frac{4}{3}⑤53\displaystyle \frac{5}{3}

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①

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해설

[출제의도] 몫의 미분법 이해하기 g(x)=f(x)x2+2\displaystyle g ( x ) = \frac{f ( x )}{x ^{2} + 2}에서 g(1)=f(1)3=63=2\displaystyle g ( 1 ) = \frac{f ( 1 )}{3} = \frac{6}{3} = 2이므로 lim⁡x→1g(x)−2x−1=g′(1)\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 1} {} \frac{g ( x ) - 2}{x - 1} = g' ( 1 ) g′(x)=f′(x)×(x2+2)−f(x)×2x(x2+2)2\displaystyle g' ( x ) = \frac{f' ( x ) \times ( x ^{2} + 2 ) - f ( x ) \times 2 x}{( x ^{2} + 2 ) ^{2}} ∴g′(1)=3f′(1)−2f(1)32=3×5−2×69=13\displaystyle \therefore g' ( 1 ) = \frac{3 f' ( 1 ) - 2 f ( 1 )}{3 ^{2}} = \frac{3 \times 5 - 2 \times 6}{9} = \frac{1}{3}

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#몫의 미분법#미분계수

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