미적분Ⅱ여러 가지 미분법수능 기출기본 문제 (3점 중반)

몫의 미분 방정식

문제

함수 f(x)=exsin⁡x+cos⁡x\displaystyle f ( x ) = \frac{e ^{x}}{\sin x + \cos x}에 대하여 −π4<x<34π\displaystyle - \frac{\pi}{4} < x < \frac{3}{4} \pi에서 방정식 f(x)−f′(x)=0f ( x ) - f' ( x ) = 0의 실근은? [3점] ①−π6\displaystyle - \frac{\pi}{6}②π6\displaystyle \frac{\pi}{6}③π4\displaystyle \frac{\pi}{4}④π3\displaystyle \frac{\pi}{3}⑤π2\displaystyle \frac{\pi}{2}

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③

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해설

f′(x)=ex(sin⁡x+cos⁡x)−ex(cos⁡x−sin⁡x)(sin⁡x+cos⁡x)2\displaystyle f' ( x ) = \frac{e ^{x} ( \sin x + \cos x ) - e ^{x} ( \cos x - \sin x )}{{( \sin x + \cos x ) ^{2}}} =2exsin⁡x(sin⁡x+cos⁡x)2\displaystyle = \frac{2 e ^{x} \sin x}{( \sin x + \cos x ) ^{2}} f(x)=f′(x)f ( x ) = f' ( x )이므로 2sin⁡x=sin⁡x+cos⁡x2 \sin x = \sin x + \cos x, tan⁡x=1\tan x = 1, ∴\therefore x=π4\displaystyle x = \frac{\pi}{4}

태그

#몫의 미분#삼각함수의 미분

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