몫의 미분

[출제의도] 분수함수의 미분계수를 구할 수 있는가? $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 2} {\frac{f \left( x \right) - 3}{x - 2}} = 5$에서 $x \rightarrow 2$일 때 (분모) $\rightarrow 0$이므로 (분자)$\rightarrow 0$이어야 한다. 즉, $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 2} {\left\{ f \left( x \right) - 3 \right\}} = 0$ 함수 $f \left( x \right)$가 실수 전체의 집합에서 미분가능하므로 실수 전체의 집합에서 연속이다. 따라서 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 2} {\left\{ f \left( x \right) - 3 \right\}} = f \left( 2 \right) - 3 = 0$에서 $f \left( 2 \right) = 3$ $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 2} {\frac{f \left( x \right) - 3}{x - 2}} = 5$ 즉, $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 2} {\frac{f \left( x \right) - f \left( 2 \right)}{x - 2}} = 5$ 이므로 $f' \left( 2 \right) = 5$ 한편 $\displaystyle g \left( x \right) = \frac{f \left( x \right)}{e ^{x - 2}}$에서 $g' \left( x \right)$$\displaystyle = \frac{f' \left( x \right) \times \left( e ^{x - 2} \right) - f \left( x \right) \times \left( e ^{x - 2} \right)'}{\left( e ^{x - 2} \right) ^{2}}$ $\displaystyle = \frac{\left\{ f' \left( x \right) - f \left( x \right) \right\} \times \left( e ^{x - 2} \right)}{\left( e ^{x - 2} \right) ^{2}}$ $\displaystyle = \frac{f' \left( x \right) - f \left( x \right)}{e ^{x - 2}}$ 따라서 $g' \left( 2 \right)$$\displaystyle = \frac{f' \left( 2 \right) - f \left( 2 \right)}{e ^{0}}$$\displaystyle = \frac{5 - 3}{1}$$= 2$