몫과 나머지 조건

조건 (가), (나)에 의하여 $f \left( x \right)$를 $P \left( x \right)$로 나누었을 때와 $f \left( x \right)$를 $Q \left( x \right)$로 나누었을 때의 나머지가 모두 $P \left( x \right) + \left\{ Q \left( x \right) \right\} ^{2}$이므로 다항식 $P \left( x \right) + \left\{ Q \left( x \right) \right\} ^{2}$의 차수는 두 다항식 $P \left( x \right)$, $Q \left( x \right)$의 차수보다 작다. $\cdots \cdots$㉠ $f \left( x \right) = P \left( x \right) Q \left( x \right) + P \left( x \right) + \left\{ Q \left( x \right) \right\} ^{2}$ (ⅰ) $Q \left( x \right)$의 차수가 $2$ 이상일 때 $P \left( x \right)$의 차수는 $1$ 이하이므로 $P \left( x \right) + \left\{ Q \left( x \right) \right\} ^{2}$의 차수가 $4$ 이상이 되어 ㉠을 만족시키지 않는다. (ⅱ) $Q \left( x \right)$의 차수가 $1$일 때 $P \left( x \right)$의 차수가 $2$이고 $P \left( x \right) + \left\{ Q \left( x \right) \right\} ^{2}$은 상수이다. $P \left( x \right)$, $Q \left( x \right)$의 최고차항의 계수를 각각 $p$, $q$라 하자. $f \left( x \right)$의 최고차항의 계수는 $P \left( x \right) Q \left( x \right)$의 최고차항의 계수와 같으므로 $pq = 1$ $P \left( x \right) + \left\{ Q \left( x \right) \right\} ^{2}$은 상수이므로 $p + q ^{2} = 0$ 그러므로 $q ^{3} = - 1$에서 $q = - 1$, $p = - 1$ $P \left( 0 \right) = - 2$, $Q \left( 0 \right) = 1$이므로 $P \left( x \right) = - x ^{2} + ax - 2 \left( a \right.$는 상수$\left. \right)$, $Q \left( x \right) = - x + 1$ $P \left( x \right) + \left\{ Q \left( x \right) \right\} ^{2}$은 상수이고 $P \left( x \right) + \left\{ Q \left( x \right) \right\} ^{2}$$= - x ^{2} + ax - 2 + \left( - x + 1 \right) ^{2}$$= \left( a - 2 \right) x - 1$ 이므로 $a = 2$에서 $P \left( x \right) = - x ^{2} + 2 x - 2$ 그러므로 $f \left( x \right) = \left( - x ^{2} + 2 x - 2 \right) \left( - x + 1 \right) - 1$ (ⅲ) $Q \left( x \right)$가 $0$이 아닌 상수일 때 $P \left( x \right)$의 차수가 $3$이므로 $P \left( x \right) + \left\{ Q \left( x \right) \right\} ^{2}$의 차수가 $3$이 되어 ㉠을 만족시키지 않는다. (ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에 의하여 $f \left( 2 \right) = 1$