모자 나누기

(ⅰ) $\mathrm{A}$가 받는 검은색 모자의 개수가 $5$일 때 $\mathrm{B} , C , D$중 한명은 검은색 모자를 받고 흰색 모자를 받지 않는다. 검은 모자를 받을 사람을 선택하는 경우의 수는 $3$ $\mathrm{A}$가 받은 흰색 모자의 개수를 $x$, 남은 두 사람이 받은 흰색 모자의 개수를 $y , z$라 하면 $x + y + z = 6$이고 $x < 6$, $y \geq 1$, $z \geq 1$ 이므로 구하는 경우의 수는 $3 \times _{3} \mathrm{H} _{4} = 45$ (ⅱ) $\mathrm{A}$가 받는 검은색 모자의 개수가 4일 때 (ⅱ-1) $\mathrm{B} , C , D$중 한 명이 남은 검은색 모자를 2개 받으면 검은 모자를 받을 사람을 선택하는 경우의 수는 $3$ 이 사람이 받은 흰색 모자의 수는 $0$ 또는 1 (ⅱ-1-1) 이 사람이 받은 흰색 모자의 수가 $0$일 때 $\mathrm{A}$가 받은 흰색 모자의 개수를 $x$, 남은 두 사람이 받은 흰색 모자의 개수를 $y , z$라 하면 $x + y + z = 6$이고 $x < 6$, $y \geq 1$, $z \geq 1$ 이므로 구하는 경우의 수는 $( x , y , z )$를 정하는 경우의 수는 $\mathrm{_{3}} H _{4}$인데 이중 $x = 4$, 즉 $\mathrm{A}$가 흰색 모자를 $4$개 받는 경우의 수가 $1$이므로 $3 \times ( _{3} \mathrm{H} _{4} - 1 ) = 42$ (ⅱ-1-2) 이 사람이 받은 흰색 모자의 수가 1일 때 $\mathrm{A}$가 받은 흰색 모자의 개수를 $x$, 남은 두 사람이 받은 흰색 모자의 개수를 $y , z$라 하면 $x + y + z = 5$이고 $y \geq 1$, $z \geq 1$ 이므로 구하는 경우의 수는 $3 \times _{3} \mathrm{H} _{3} = 30$ (ⅱ-2) $\mathrm{B} , C , D$중 두 명이 검은색 모자를 1개씩 받으면 검은 모자를 받을 사람을 선택하는 경우의 수는 $3$ 두 사람 중 한 사람이 받은 흰색 모자의 수는 $0$이고 이 사람을 선택하는 경우의 수는 $2$이다. 다른 검은 모자를 받은 사람은 흰색 모자를 $1$개 이상 받아야 한다. $\mathrm{A}$가 받은 흰색 모자의 개수를 $x$, 흰색 모자를 받을 두 사람이 받을 흰색 모자의 개수를 $y , z$라 하면 $x + y + z = 6$이고 $x < 6$, $y \geq 1$, $z \geq 1$ 이므로 구하는 경우의 수는 $\mathrm{_{3}} H _{4}$인데 이중 $x = 4$, 즉 $\mathrm{A}$가 흰색 모자를 $4$개 받는 경우의 수가 $1$이므로 $3 \times 2 \times ( _{3} \mathrm{H} _{4} - 1 ) = 84$ 이상에서 모든 경우의 수는 $45 + 42 + 30 + 84 = 201$