미적분Ⅱ여러 가지 미분법수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

미분계수와 극한

문제

함수 f(x)=xsinx+cosxf \left( x \right) = x \sin x + \cos x에 대하여 limh0f(π2h)f(π)h\displaystyle \lim\limits _{h \rightarrow 0} {\frac{f \left( \pi - 2 h \right) - f \left( \pi \right)}{h}}의 값은? [3점] 00π2\displaystyle \frac{\pi}{2}π\pi32π\displaystyle \frac{3}{2} \pi2π2 \pi

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해설

함수 f(x)f \left( x \right)가 실수 전체의 집합에서 미분가능하므로 limh0f(π2h)f(π)h=2f(π)\displaystyle \lim\limits _{h \rightarrow 0} {\frac{f \left( \pi - 2 h \right) - f \left( \pi \right)}{h}} = \mathit{-} 2 f' \left( \pi \right) f(x)=xcosxf' \left( x \right) = x \cos x이므로 2f(π)=2π- 2 f' \left( \pi \right) = 2 \pi

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