미적분Ⅰ미분계수와 도함수수능 기출기본 문제 (3점 중반)

미분계수로 계수 구하기

문제

함수 f(x)=x3−2x2+ax+1f ( x ) = x ^{3} - 2 x ^{2} + ax + 1에 대하여 lim⁡h→0f(2+h)−f(2)h=9\displaystyle \lim\limits _{h \rightarrow 0} {\frac{f ( 2 + h ) - f ( 2 )}{h}} = 9일 때, 상수 aa의 값은? [3점] ①11②33③55④77⑤99

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③

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해설

[출제의도] 미분계수의 정의를 이해하여 미지수의 값을 구한다. f(x)f ( x )가 다항함수이므로 f(x)f ( x )는 x=2x = 2에서 미분가능하다. 한편, lim⁡h→0f(2+h)−f(2)h\displaystyle \lim\limits _{h \rightarrow 0} {\frac{f ( 2 + h ) - f ( 2 )}{h}}=f′(2)= f' ( 2 )에서 f′(2)f' ( 2 )=9= 9 f(x)f ( x )=x3−2x2+ax+1= x ^{3} - 2 x ^{2} + ax + 1에서 f′(x)f' ( x )=3x2−4x+a= 3 x ^{2} - 4 x + a 그러므로 f′(2)f' ( 2 )=3×22−4×2+a= 3 \times 2 ^{2} - 4 \times 2 + a=a+4= a + 4 따라서 a+4=9a + 4 = 9에서 a=5a = 5

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#미분계수#도함수

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