미적분Ⅱ여러 가지 미분법수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

미분계수 정의와 삼각함수

문제

함수 f(x)f ( x )가 f(x)={x2sin⁡2x1−cos⁡x(x≠0)0(x=0)\displaystyle f ( x ) = {\begin{cases} \frac{x ^{2} \sin 2 x}{1 - \cos x _{{} _{{} _{}}}} & ( x \ne 0 ) \\ 0 & ( x = 0 ) ^{{} ^{}} \end{cases}} 일 때, f′(0)f' ( 0 )의 값은? (단, −π<x<π- \pi < x < \pi) [3점] ①00②11③22④33⑤44

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해설

[출제의도] 미분계수의 정의를 이용하여 문제해결하기 f′(0)=lim⁡x→0f(x)−f(0)x−0\displaystyle f' ( 0 ) = \lim\limits _{x \rightarrow 0} {\frac{f ( x ) - f ( 0 )}{x - 0}} =lim⁡x→0x2sin⁡2x1−cos⁡x−0x−0\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow 0} {\frac{\frac{x ^{2} \sin 2 x}{1 - \cos x} - 0}{x - 0}}=lim⁡x→0xsin⁡2x1−cos⁡x\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow 0} {\frac{x \sin 2 x}{1 - \cos x}} =lim⁡x→02xsin⁡xcos⁡x(1+cos⁡x)sin⁡2x\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow 0} {\frac{2 x \sin x \cos x ( 1 + \cos x )}{\sin ^{2} x}} =lim⁡x→02cos⁡x(1+cos⁡x)xsin⁡x\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow 0} {2 \cos x ( 1 + \cos x ) {\frac{x}{\sin x}}}=4= 4

태그

#미분계수#삼각함수의 극한

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