미적분Ⅱ여러 가지 미분법수능 기출기본 문제 (3점 중반)

미분계수 정의 삼각함수

문제

함수 f(x)=sin⁡x+acos⁡xf ( x ) = \sin x + a \cos x에 대하여 lim⁡x→π2f(x)−1x−π2=3\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow \frac{\pi}{2}} \frac{f ( x ) - 1}{x - \frac{\pi}{2}} = 3일 때, f(π4)\displaystyle f \left( \frac{\pi}{4} \right)의 값은? (단, aa는 상수이다.) [3점] ①−22\displaystyle - 2 \sqrt{2}②−2\displaystyle - \sqrt{2}③00④2\displaystyle \sqrt{2}⑤22\displaystyle 2 \sqrt{2}

정답 보기
②

자료 내려받기

아직 올라온 파일이 없습니다.

해설

[출제의도] 미분계수의 정의를 이용하여 미지수를 구하고, 함숫값을 구한다. f(x)=sin⁡x+acos⁡xf ( x ) = \sin x + a \cos x에서 f(π2)=sin⁡π2+acos⁡π2=1\displaystyle f \left( \frac{\pi}{2} \right) = \sin \frac{\pi}{2} + a \cos \frac{\pi}{2} = 1이므로 lim⁡x→π2f(x)−1x−π2=lim⁡x→π2f(x)−f(π2)x−π2\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow \frac{\pi}{2}} {} \frac{f ( x ) - 1}{x - \frac{\pi}{2}} = \lim\limits _{x \rightarrow \frac{\pi}{2}} {} \frac{f ( x ) - f \left( \frac{\pi}{2} \right)}{x - \frac{\pi}{2}}=f′(π2)\displaystyle = f' \left( \frac{\pi}{2} \right) f′(x)=cos⁡x−asin⁡xf' ( x ) = \cos x - a \sin x에서 f′(π2)=cos⁡π2−asin⁡π2\displaystyle f' \left( \frac{\pi}{2} \right) = \cos \frac{\pi}{2} - a \sin \frac{\pi}{2}=−a=3= - a = 3 따라서 a=−3a = - 3이므로 f(x)=sin⁡x−3cos⁡xf ( x ) = \sin x - 3 \cos x f(π4)=sin⁡π4−3cos⁡π4\displaystyle f \left( \frac{\pi}{4} \right) = \sin \frac{\pi}{4} - 3 \cos \frac{\pi}{4} =22−3×22=−2\displaystyle = \frac{\sqrt{2}}{2} - 3 \times \frac{\sqrt{2}}{2} = - \sqrt{2}

태그

#미분계수#삼각함수의 미분

비슷한 문제 더 보기

미적분Ⅱ 문제 모음미적분Ⅱ 여러 가지 미분법 문제 모음수능 문제 모음기본 문제 모음
← 전체 문제 목록으로