미적분Ⅰ미분계수와 도함수수능 기출기본 문제 (3점 중반)

미분계수 극한

문제

함수 f(x)=2x4−3x+1f \left( x \right) = 2 x ^{4} - 3 x + 1에 대하여 lim⁡n→∞n{f(1+3n)−f(1−2n)}\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {n \left\{ f \left( 1 + \frac{3}{n} \right) - f \left( 1 - \frac{2}{n} \right) \right\}}의 값을 구하시오. [3점]

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해설

lim⁡n→∞n{f(1+3n)−f(1−2n)}\displaystyle \lim\limits _{n\rightarrow \infty} n \left\{ f \left( 1 + \frac{3}{n} \right) - f \left( 1 - \frac{2}{n} \right) \right\}=lim⁡n→∞{f(1+3n)−f(1−2n)}1n\displaystyle = \lim\limits _{n\rightarrow \infty} \frac{\left\{ f \left( 1 + \frac{3}{n} \right) - f \left( 1 - \frac{2}{n} \right) \right\}}{\frac{1}{n}} =lim⁡n→∞{f(1+3n)−f(1)+f(1)−f(1−2n)}1n\displaystyle = \lim\limits _{n\rightarrow \infty} \frac{\left\{ f \left( 1 + \frac{3}{n} \right) - f ( 1 ) + f ( 1 ) - f \left( 1 - \frac{2}{n} \right) \right\}}{\frac{1}{n}} =lim⁡n→∞f(1+3n)−f(1)1n+lim⁡n→∞f(1)−f(1−2n)1n\displaystyle = \lim\limits _{n\rightarrow \infty} \frac{f \left( 1 + \frac{3}{n} \right) - f ( 1 )}{\frac{1}{n}} + \lim\limits _{n\rightarrow \infty} \frac{f ( 1 ) - f \left( 1 - \frac{2}{n} \right)}{\frac{1}{n}} =3lim⁡n→∞f(1+3n)−f(1)3n+2lim⁡n→∞f(1)−f(1−2n)2n\displaystyle = 3 \lim\limits _{n\rightarrow \infty} \frac{f \left( 1 + \frac{3}{n} \right) - f ( 1 )}{\frac{3}{n}} + 2 \lim\limits _{n\rightarrow \infty} \frac{f ( 1 ) - f \left( 1 - \frac{2}{n} \right)}{\frac{2}{n}} =3f′(1)+2f′(1)=5f′(1)= 3 f' ( 1 ) + 2 f' ( 1 ) = 5 f' ( 1 )=25= 25 ( ∵\because f′(x)=8x3−3f' ( x ) = 8 x ^{3} - 3에서 f′(1)=5f' ( 1 ) = 5)

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