미적분Ⅰ부정적분과 정적분수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

미분과 적분 조건으로 상수 구하기

문제

다항함수 f(x)f \left( x \right)가 다음 조건을 만족시킬 때, 상수 aa의 값은? [4점]

(가) 모든 실수 xx에 대하여 ddx{∫1x(f(t)+t2+2at−3)dt}\displaystyle \frac{d}{dx} \left\{ \int _{1} ^{x} {} \left( f \left( t \right) + t ^{2} + 2 at - 3 \right) dt \right\}=∫1x{ddt(2f(t)−3t+7)}dt\displaystyle = \int _{1} ^{x} {} \left\{ \frac{d}{dt} \left( 2 f \left( t \right) - 3 t + 7 \right) \right\} dt (나) lim⁡h→0f(3+h)−f(3−h)h\displaystyle \lim\limits _{h \rightarrow 0} {} \frac{f \left( 3 + h \right) - f \left( 3 - h \right)}{h}=6= 6

①−1- 1②−2- 2③−3- 3④−4- 4⑤−5- 5

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③

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해설

조건 (가)로부터 f(x)+x2+2ax−3f \left( x \right) + x ^{2} + 2 ax - 3=2f(x)−3x−{2f(1)−3}= 2 f \left( x \right) - 3 x - \left\{ 2 f \left( 1 \right) - 3 \right\}=2f(x)−3x−2f(1)+3= 2 f \left( x \right) - 3 x - 2 f \left( 1 \right) + 3 ∴\therefore f(x)=x2+(2a+3)x+2f(1)−6f \left( x \right) = x ^{2} + \left( 2 a + 3 \right) x + 2 f \left( 1 \right) - 6 위 식에서 x=1x = 1을 대입하면 f(1)=1+2a+3+2f(1)−6f \left( 1 \right) = 1 + 2 a + 3 + 2 f \left( 1 \right) - 6 ∴\therefore f(1)=−2a−2f \left( 1 \right) = - 2 a - 2 ∴f(x)=x2+(2a+3)x−4a−2\therefore f \left( x \right) = x ^{2} + \left( 2 a + 3 \right) x - 4 a - 2 조건 (나)로부터 lim⁡h→0f(3+h)−f(3−h)h\displaystyle \lim\limits _{h \rightarrow 0} {} \frac{f \left( 3 + h \right) - f \left( 3 - h \right)}{h} =lim⁡h→0f(3+h)−f(3)+f(3)−f(3−h)h\displaystyle = \lim\limits _{h \rightarrow 0} {} \frac{f \left( 3 + h \right) - f \left( 3 \right) + f \left( 3 \right) - f \left( 3 - h \right)}{h} =lim⁡h→0[f(3+h)−f(3)h−f(3−h)−f(3)h]\displaystyle = \lim\limits _{h \rightarrow 0} \left[ \frac{f \left( 3 + h \right) - f \left( 3 \right)}{h} - \frac{f \left( 3 - h \right) - f \left( 3 \right)}{h} \right] =lim⁡h→0[f(3+h)−f(3)h+f(3−h)−f(3)−h]\displaystyle = \lim\limits _{h \rightarrow 0} \left[ \frac{f \left( 3 + h \right) - f \left( 3 \right)}{h} + \frac{f \left( 3 - h \right) - f \left( 3 \right)}{- h} \right] =f′(3)+f′(3)=2f′(3)= f' \left( 3 \right) + f' \left( 3 \right) = 2 f' \left( 3 \right) 2f′(3)=62 f' \left( 3 \right) = 6이므로 f′(3)=3f' \left( 3 \right) = 3 ∴\therefore f′(x)=2x+2a+3f' \left( x \right) = 2 x + 2 a + 3 즉, f′(3)=2a+9=3f' \left( 3 \right) = 2 a + 9 = 3이므로 a=−3a = - 3

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#미적분의 기본정리#미분계수

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