미적분Ⅱ급수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

마름모와 원 급수

문제

그림과 같이 두 대각선의 길이가 각각 88, 44인 마름모 내부에 두 대각선의 교점을 중심으로 하고 짧은 대각선의 길이의 12\displaystyle \frac{1}{2}을 지름으로 하는 원을 그려서 얻은 그림을 R1R _{1}이라 하자. 그림 R1R _{1}에 있는 마름모에 긴 대각선의 양 끝점으로부터 그 대각선과 원의 두 교점 중 가까운 점까지의 선분을 각각 긴 대각선으로 하고, 마름모의 이웃하는 두 변 위에 짧은 대각선의 양 끝점이 놓이도록 마름모를 22개 그린다. 새로 그려진 각 마름모에서, 두 대각선의 교점을 중심으로 하고 짧은 대각선의 길이의 12\displaystyle \frac{1}{2}을 지름으로 하는 원을 그려서 얻은 그림을 R2R _{2}라 하자. 그림 R2R _{2}에 있는 작은 두 마름모에 긴 대각선의 양 끝점으로부터 그 대각선과 원의 두 교점 중 가까운 점까지의 선분을 각각 긴 대각선으로 하고, 마름모의 이웃하는 두 변 위에 짧은 대각선의 양 끝점이 놓이도록 마름모를 44개 그린다. 새로 그려진 각 마름모에서, 두 대각선의 교점을 중심으로 하고 짧은 대각선의 길이의 12\displaystyle \frac{1}{2}을 지름으로 하는 원을 그려서 얻은 그림을 R3R _{3}이라 하자. 이와 같은 방법으로 nn번째 얻은 그림 RnR _{n}에 있는 모든 원의 넓이의 합을 SnS _{n}이라 할 때, lim⁡n→∞Sn\displaystyle \lim\limits _{n\rightarrow \infty} S _{n}의 값은? [3점]

①1613π\displaystyle \frac{16}{13} \pi②3225π\displaystyle \frac{32}{25} \pi③43π\displaystyle \frac{4}{3} \pi④3223π\displaystyle \frac{32}{23} \pi⑤1611π\displaystyle \frac{16}{11} \pi

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④

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해설

[출제의도] 무한등비급수를 이용하여 도형의 넓이를 구할 수 있는가? R1R _{1}에서 주어진 원의 반지름의 길이가 1이므로 넓이는 π\pi 이고 긴 대각선의 길이는 8이다. 이 때 R2R _{2}에서 새로 생긴 마름모의 긴 대각선의 길이가 3이므로 짧은 대각선의 길이는 32\displaystyle \frac{3}{2} {} 이다. 따라서 이 마름모 안에 새로 생긴 원의 반지름의 길이는 38\displaystyle \frac{3}{8}이므로 R2R _{2}에 들어 있는 원의 넓이의 합은 π+2×(38)2π\displaystyle \pi + 2 \times \left( \frac{3}{8} \right) ^{2} \pi 이다. 같은 방법으로 RnR _{n}에 들어 있는 모든 원의 넓이의 합SnS _{n}을 구하면 Sn=π+2×964π+4×(964)2π+⋯+2n−1×(964)nπ\displaystyle S _{n} = \pi + 2 \times \frac{9}{64} \pi + 4 \times \left( \frac{9}{64} \right) ^{2} \pi + \cdots + 2 ^{n-1} \times \left( \frac{9}{64} \right) ^{n} \pi =π(1−(932)n)1−932\displaystyle = \frac{\pi ( 1 - \left( \frac{9}{32} \right) ^{n} )}{1 - \frac{9}{32}} ∴lim⁡n→∞Sn=π1−932=3223π\displaystyle \therefore \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {S _{n}} = \frac{\pi}{1 - \frac{9}{32}} = \frac{32}{23} \pi

태그

#등비급수#도형 닮음

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