마름모와 수직이등분

[출제의도] 평면도형의 성질을 이해하여 각의 크기를 구한다.

사각형 $\mathrm{ABCD}$는 마름모이므로 두 대각선 $\mathrm{AC}$와 $\mathrm{BD}$는 서로의 수직이등분선이다. 두 대각선 $\mathrm{AC}$와 $\mathrm{BD}$가 만나는 점을 $\mathrm{M}$이라 하면 $\displaystyle \mathrm{\overline{AM}}$$\displaystyle = \mathrm{\overline{MC}}$, $\displaystyle \mathrm{\overline{BM}}$$\displaystyle = \mathrm{\overline{MD}}$ $\mathrm{\angle} AMB$$= \mathrm{\angle} CMB$$= \mathrm{\angle} CMD$$= \mathrm{\angle} AMD$$= 90 ^\circ$ 이므로 네 삼각형 $\mathrm{AMB}$, $\mathrm{CMB}$, $\mathrm{CMD}$, $\mathrm{AMD}$는 서로 합동이다. $\mathrm{\angle} ADB$$= \mathrm{\angle} CDB$ $\cdots \cdots$ ㉠ 직선 $\mathrm{CD}$와 선분 $\mathrm{BE}$가 만나는 점을 $\mathrm{H}$라 하자. 세 점 $\mathrm{C}$, $\mathrm{D}$, $\mathrm{H}$는 선분 $\mathrm{{BE}}$의 수직이등분선 위의 점이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{BD}}$$\displaystyle = \mathrm{\overline{ED}}$, $\displaystyle \mathrm{\overline{BC}}$$\displaystyle = \mathrm{\overline{EC}}$, $\displaystyle \mathrm{\overline{BH}}$$\displaystyle = \mathrm{\overline{EH}}$ 두 삼각형 $\mathrm{BCD}$, $\mathrm{ECD}$에서 $\displaystyle \mathrm{\overline{BD}}$$\displaystyle = \mathrm{\overline{ED}}$, $\displaystyle \mathrm{\overline{BC}}$$\displaystyle = \mathrm{\overline{EC}}$이고 선분 $\mathrm{{CD}}$는 공통이므로 두 삼각형 $\mathrm{BCD}$, $\mathrm{ECD}$는 합동인 이등변삼각형이다. $\mathrm{\angle} CBD$$= \mathrm{\angle} CED$$=$$\mathrm{\angle} CDB$$= \mathrm{\angle} CDE$ $\cdots \cdots$ ㉡ $\mathrm{\angle} ADE$$=$$\mathrm{\angle} ADB$$+ \mathrm{\angle} CDB$$+ \mathrm{\angle} CDE$$= 72 ^\circ$ ㉠, ㉡에서 $\mathrm{\angle} ADB$$= \mathrm{\angle} CDB$$= \mathrm{\angle} CDE$$= \mathrm{\angle} CED$$= 24 ^\circ$ $\displaystyle \mathrm{\overline{BC}}$$\displaystyle = \mathrm{\overline{EC}}$, $\displaystyle \mathrm{\overline{BH}}$$\displaystyle = \mathrm{\overline{EH}}$이고 선분 $\mathrm{{CH}}$는 공통이므로 두 삼각형 $\mathrm{BCH}$, $\mathrm{ECH}$는 서로 합동이다. $\mathrm{\angle} CEB$$= \mathrm{\angle} CEH$$= \mathrm{\angle} CBH$ $\mathrm{\angle} CDE = \angle EDH = 24 ^\circ$, $\mathrm{\angle} BED = \angle DEH$이고 삼각형 $\mathrm{DHE}$의 세 내각의 크기의 합은 $180 ^\circ$이므로 $\mathrm{\angle} EDH + \angle DEH + \angle DHE$ $= \mathrm{\angle} EDH + \left( \angle CED + \angle CEB \right) + \angle DHE$ $= 24 ^\circ + \left( 24 ^\circ + \mathrm{\angle} CEB \right) + 90 ^\circ = 180 ^\circ$ 따라서 $\mathrm{\angle} CEB = 42 ^\circ$