대수등차수열과 등비수열수능 기출킬러 문제 (22·30번 수준)

마름모 영역 넓이 합

문제

자연수 $n$ 에 대하여 연립부등식 $\displaystyle \frac{\left| x \right|}{\left( \frac{1}{2} \right) ^{2 n - 1}} + \frac{\left| y \right|}{\left( \frac{1}{2} \right) ^{2 n}} \leq 1$ , $\displaystyle \frac{\left| x \right|}{\left( \frac{1}{2} \right) ^{2 n + 1}} + \frac{\left| y \right|}{\left( \frac{1}{2} \right) ^{2 n}} \geq 1$ 을 만족시키는 좌표평면 위의 점 $( x , y )$ 가 나타내는 영역의 넓이를 $a _{n}$ 이라 하자. 수열 $\left\{ a _{n} \right\}$ 의 첫째항부터 제 $n$ 항까지의 합 $S _{n}$ 에 대하여 $\log$ $\displaystyle {}_{\frac{1}{2}}$ $( 1 - 5 S _{10} )$ 의 값을 구하시오. [4점]

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40

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[출제의도] 등비수열의 합 구하기

$\displaystyle \left( {\frac{1}{2}} \right) ^{2 n}$ $\displaystyle \left( {\frac{1}{2}} \right) ^{2 n - 1}$ $\displaystyle \left( {\frac{1}{2}} \right) ^{2 n + 1}$

점 $( x , y )$ 가 나타내는 영역은 두 대각선의 길이가 각각 $\displaystyle 2 \times \left( \frac{1}{2} \right) ^{2 n - 1}$ , $\displaystyle 2 \times \left( \frac{1}{2} \right) ^{2n}$ 인 마름모의 내부와 두 대각선의 길이가 각각 $\displaystyle 2 \times \left( \frac{1}{2} \right) ^{2n+1}$ , $\displaystyle 2 \times \left( \frac{1}{2} \right) ^{2n}$ 인 마름모의 외부의 공통 부분(어두운 부분)이므로 $\displaystyle a _{n} = 3 \times \left( \frac{1}{16} \right) ^{n}$ $\displaystyle S _{10} = 3 \sum\limits _{k = 1} ^{10} \left( \frac{1}{16} \right) ^{k}$ $\displaystyle = \frac{1}{5} \left\{ 1 - \left( \frac{1}{2} \right) ^{40} \right\}$ 따라서 $\displaystyle \log _{\frac{1}{2}} \left( 1 - 5 S _{10} \right) = 40$

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