마름모 넓이 합 급수

[출제의도] 무한급수의 합을 구하기 좌표평면에서 $\left| x \right| + \left| y \right| = n$의 그래프는 아래 그림과 같으므로

$\displaystyle S _{n} = \left\{ \frac{1}{2} \times ( 2 n ) \times n \right\} \times 2 = 2 n ^{2}$이다. 따라서 $a _{n} = S _{n} - S _{n - 1}$ $= 2 n ^{2} - 2 \left( n - 1 \right) ^{2} = 4 n - 2$($n$≧$2 )$이고 $S _{1} = a _{1} = 2$이므로 $a _{n} = 4 n - 2$($n$≧$1 )$ ∴ $\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} \frac{24}{a _{n} a _{n + 1}} = \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} \frac{24}{( 4 n - 2 ) ( 4 n + 2 )}$ $\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\sum\limits _{k = 1} ^{n} 6 \left( \frac{1}{4 k - 2} - \frac{1}{4 k + 2} \right)}$ $\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\left. 6 \left\{ \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{6} \right) + \left( \frac{1}{6} - \frac{1}{10} \right) + \cdots + \left( \frac{1}{4 n - 2} - \frac{1}{4 n + 2} \right) \right. \right\}}$ $\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {6 \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{4 n + 2} \right) = 3}$