확률과 통계확률분포수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

많은 색 공 개수 평균

문제

주머니 속에 빨간 공 $5$ 개, 파란 공 $5$ 개가 들어있다. 이 주머니에서 $5$ 개의 공을 동시에 꺼낼 때, 꺼낸 공 중에서 더 많은 색의 공의 개수를 확률변수 $X$ 라 하자. 예를 들어 꺼낸 공이 빨간 공 $2$ 개, 파란 공 $3$ 개이면 $X = 3$ 이다. $Y = 14 X + 14$ 라 할 때 확률변수 $Y$ 의 평균을 구하시오. [4점]

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해설

$X$	$3$	$4$	$5$	계
$P ( X )$	$\displaystyle \frac{100}{126}$	$\displaystyle \frac{25}{126}$	$\displaystyle \frac{1}{126}$	$1$

$\displaystyle P ( X = 3 ) = \frac{{} _{5} C _{3} \times _{5} C _{2} \times 2}{{} _{10} C _{5}} = \frac{50}{63}$ $\displaystyle P ( X = 4 ) = \frac{{} _{5} C _{4} \times _{5} C _{1} \times 2}{{} _{10} C _{5}} = \frac{25}{126}$ $\displaystyle P ( X = 5 ) = \frac{{} _{5} C _{5} \times 2}{{} _{10} C _{5}} = \frac{1}{126}$ $X$ 의 평균 $= E ( X )$ $\displaystyle = \frac{300 + 100 + 5}{126}$ $\displaystyle = \frac{405}{1 26}$ $\displaystyle = \frac{45}{14}$ $E ( Y )$ $= 14 E ( X ) + 14$ $\displaystyle = 14 \times \frac{45}{14} + 14$ $= 45 + 14$ $= 59$

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