확률과 통계확률의 뜻과 활용수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

말판 이동 확률 보기

문제

그림과 같은 말과 말판이 있다. 말은 한 번에 한 칸씩 인접한 칸으로 움직이는 데 인접한 각 칸으로 이동할 확률은 모두 12\displaystyle \frac{1}{2}이다. 예를 들어 A\mathrm{A}에 있던 말이 A\mathrm{A}와 인접한 칸인 B\mathrm{B}, C\mathrm{C}로 이동할 확률은 각각 12\displaystyle \frac{1}{2}이다. 최초 A\mathrm{A}에 있던 말이 nn번 이동하여 처음으로 D\mathrm{D}에 도착할 확률을 Pn{\mathrm{P}} _{n}이라 할 때, 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? [4점]

<보 기>
ㄱ. P2=12\displaystyle \mathrm{P} _{2} = \frac{1}{2} ㄴ. P2n+2=12P2n\displaystyle {\mathrm{P}} _{2 n + 2} = \frac{1}{2} {\mathrm{P}} _{2 n} (n=1n = 1, 22, 33, ⋯\cdots) ㄷ. ∑k=110Pk=10231024\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{10} {\mathrm{P}} _{k} = \frac{1023}{1024}

①ㄱ②ㄱ, ㄴ③ㄱ, ㄷ④ㄴ, ㄷ⑤ㄱ, ㄴ, ㄷ

정답 보기
②

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해설

ㄱ. P2=14+14=12\displaystyle \mathrm{P} _{2} = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2} (참) ㄴ. 짝수 번을 이동하면 말은 A\mathrm{A} 또는 D\mathrm{D}에 도착하게 된다. 말이 (2n+2)( 2 n + 2 )번째에 처음으로 D\mathrm{D}에 도착하려면 처음 22번을 이동한 후 A\mathrm{A}에 있고 그 이후 2n2 n번을 이동하여 처음으로 D\mathrm{D}에 도착해야 하므로 P2n+2=12P2n\displaystyle \mathrm{P} _{\mathit{2} n + 2} = \frac{1}{2} P _{\mathit{2} n} (참) ㄷ. P2n−1=0{\mathrm{P}} _{2 n - 1} = 0 (n=1,2,3,⋯n = 1 , 2 , 3 , \cdots)이므로 ∴ ∑k=110Pk=P2+P4+P6+P8+P10\displaystyle \sum\limits _{k=1} ^{10} \mathrm{P} _{\mathit{k}} = \mathrm{P} _{2} + P _{4} + P _{6} + P _{8} + P _{10} =12+122+123+124+125\displaystyle = \frac{1}{2} + \frac{1}{2 ^{2}} + \frac{1}{2 ^{3}} + \frac{1}{2 ^{4}} + \frac{1}{2 ^{5}}=3132\displaystyle = \frac{31}{32} (거짓)

태그

#확률#점화식#보기 판단

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