확률과 통계확률분포수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

말판 이동 기댓값

문제

그림과 같이 $8$ 개의 칸에 숫자 $0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7$ 이 하나씩 적혀 있는 말판이 있고, 숫자 $0$ 이 적혀 있는 칸에 말이 놓여 있다. 한 개의 주사위를 사용하여 다음 시행을 한다.

주사위를 한 번 던져 나오는 눈의 수가 $3$ 이상이면 말을 화살표 방향으로 한 칸 이동시키고, 나오는 눈의 수가 $3$ 보다 작으면 말을 화살표 반대 방향으로 한 칸 이동시킨다.

위의 시행을 $4$ 회 반복한 후 말이 도착한 칸에 적혀 있는 수를 확률변수 $X$ 라 하자. $\mathrm{E} \mathit{\left( 36 X \right)}$ 의 값을 구하시오. [4점]

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해설

$3$ 이상의 눈이 나오는 횟수를 $x$ 라 하면 $3$ 보다 작은 경우는 $4 - x$ 번이다. $x$ 에 따른 확률변수 $X$ 값은 다음 표와 같다.

$x$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$
$X$	$4$	$6$	$0$	$2$	$4$

이때 $x = k$ 일 때의 확률은 $\displaystyle {} _{4} \mathrm{C} \mathit{\mathrm{_{\mathit{k}}}} \left( \frac{2}{3} \right) ^{k} \left( \frac{1}{3} \right) ^{4 - k}$ $\displaystyle = _{4} \mathrm{C} \mathit{\mathrm{_{\mathit{k}}}} \cdot \frac{2 ^{k}}{3 ^{4}}$ 이므로 확률변수 $X$ 에 대한 확률분포표는 다음과 같다.

$X$	$0$	$2$	$4$	$6$	계
$\mathrm{P} \mathit{(} X = x )$	$\displaystyle \frac{24}{81}$	$\displaystyle \frac{32}{81}$	$\displaystyle \frac{17}{81}$	$\displaystyle \frac{8}{81}$	$1$

$\therefore$ $\mathrm{E} \mathit{\left( 36 X \right)}$ $\displaystyle = \frac{36}{81} \left( 64 + 68 + 48 \right)$ $\displaystyle = \frac{4}{9} \times 180$ $= 80$

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