막대 균형점

M을 기준으로 왼쪽에 있는 추의 개수를 $r$개, 오른쪽에 있는 추의 개수를 $s$개라고 하자. 막대의 왼쪽 끝의 위치를 0, M의 위치를 $m$, 왼쪽 $r$개의 추의 위치를 차례대로 $a _{1} , a _{2} , a _{3} , \cdots , a _{r}$, 오른쪽 $s$개의 추의 위치를 차례대로 $b _{1} , b _{2} , b _{3} , \cdots , b _{s}$라 하고, 추의 무게를 $g$라고 하면 막대가 균형을 이루므로 $g ( m - a _{1} ) + g ( m - a _{2} ) + g ( m - a _{3} ) +$ $\cdots + g ( m - a _{r} )$ $= g ( b _{1} - m ) + g ( b _{2} - m ) + g ( b _{3} - m ) + \cdots$$+ g ( b _{s} - m )$ ∴ $( m - a _{1} ) + ( m - a _{2} ) + ( m - a _{3} ) +$$\cdots + ( m - a _{r} )$ $= ( b _{1} - m ) + ( b _{2} - m ) + ( b _{3} - m ) +$$\cdots + ( b _{s} - m )$ $\cdots ( * )$ ㄱ. $a _{1} = 2 , a _{2} = 4 , m = 6 , b _{1} = 7 , b _{2} = 8 , b _{3} = 9$라 하면 $( m - a _{1} ) + ( m - a _{2} )$$= ( b _{1} - m ) + ( b _{2} - m ) + ( b _{3} - m )$ 그러나, $r = 2 , s = 3$이므로 $r \neq s$ (거짓) ㄴ. 왼쪽 끝에서 가장 가까운 추와 오른쪽 끝에서 가장 가까운 추를 각각 왼쪽과 오른쪽으로 $k$만큼 움직이면 각각의 위치는 $a _{1} - k , b _{s} + k$이므로 (*)에 의해 $\left\{ m - ( a _{1} - k ) \right\} + ( m - a _{2} ) + ( m - a _{3} ) +$$\cdots + ( m - a _{r} )$ $= ( m - a _{1} ) + ( m - a _{2} ) + ( m - a _{3} ) +$$\cdots + ( m - a _{r} ) + k$ $= ( b _{1} - m ) + ( b _{2} - m ) + ( b _{3} - m ) +$$\cdots + ( b _{s} - m ) + k$ $= ( b _{1} - m ) + ( b _{2} - m ) + ( b _{3} - m ) +$$\cdots + \left\{ ( b _{s} + k ) - m \right\}$ 따라서, 막대는 균형을 이루므로 M의 위치는 변하지 않는다. (참) ㄷ. (*)에 의하여 왼쪽에 있는 각 추와 M까지의 거리의 합과 오른쪽에 있는 각 추와 M까지의 거리의 합은 같다. (참) 따라서, 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다.