미적분Ⅱ도함수의 활용수능 기출킬러 문제 (22·30번 수준)

막대 각의 순간변화율

문제

반지름의 길이 1m1 \mathrm{m}인 원판에 기대어 있는 막대 OP‾\displaystyle \mathrm{\overline{OP}}의 한 끝은 아래 그림과 같이 평평한 지면 위의 한 점 O\mathrm{O}에 고정되어 있다. 원판이 지면과 접하는 점을 Q\mathrm{Q}라 하자. 원판의 중심이 오른쪽으로 지면과 평행하게 등속도 1.5m1.5 \mathrm{m}/초로 움직인다. OQ‾=2m\displaystyle \mathrm{\overline{OQ}} = 2 m되는 순간, 막대 OP‾\displaystyle \mathrm{\overline{OP}}가 지면과 이루는 각의 크기 θ\theta의 시간에 대한 순간변화율은? (단, 단위는 라디안/초이다) [2점]

①−35\displaystyle - \frac{3}{5}②−32\displaystyle - \frac{3}{2}③−310\displaystyle - \frac{3}{10}④−56\displaystyle - \frac{\sqrt{5}}{6}⑤−325\displaystyle - \frac{3}{2 \sqrt{5}}

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①

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해설

OQ‾=x\displaystyle \overline{OQ} = x라 하면 x=1tan⁡θ2=cot⁡θ2\displaystyle x = \frac{1}{\tan \frac{\theta}{2}} = \cot \frac{\theta}{2} dxdt=−12csc⁡2θ2dθdt\displaystyle \frac{dx}{dt} = - \frac{1}{2} \csc ^{2} \frac{\theta}{2} \frac{d \theta}{dt} 여기서 dxdt=1.5,sin⁡θ2=15,csc⁡2θ2=5\displaystyle \frac{dx}{dt} = 1.5 , \sin \frac{\theta}{2} = \frac{1}{\sqrt{5}} , \csc ^{2} \frac{\theta}{2} = 5이므로 dθdt=−35\displaystyle \frac{d \theta}{dt} = - \frac{3}{5}

태그

#변화율#삼각함수 미분

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