미적분Ⅱ정적분의 활용수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

매개곡선 이동거리

문제

좌표평면 위를 움직이는 점 P(x,y)P ( x , y )의 시각 tt에서의 위치가 x=9cos⁡t−cos⁡9t,y=9sin⁡t−sin⁡9tx = 9 \cos t - \cos 9 t , y = 9 \sin t - \sin 9 t 로 나타내어지는 곡선이 있다. 점 PP가 t=0t = 0에서 t=π8\displaystyle t = \frac{\pi}{8}까지 움직인 거리를 ss라 할 때, 2s2 s의 값을 구하시오. [4점]

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9

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해설

dxdt=−9sin⁡t+9sin⁡9t,dydt=9cos⁡t−9cos⁡9t\displaystyle \frac{dx}{dt} = - 9 \sin t + 9 \sin 9 t , \frac{dy}{dt} = 9 \cos t - 9 \cos 9 t 이므로 (dxdt)2+(dydt)2=181−cos⁡8t2=18sin⁡4t\displaystyle \sqrt{\left( \frac{dx}{dt} \right) ^{2} + \left( \frac{dy}{dt} \right) ^{2}} = 18 \sqrt{\frac{1 - \cos 8 t}{2}} = 18 \sin 4 t 따라서 s=∫0π818sin⁡4tdt=92\displaystyle s = \int _{0} ^{\frac{\pi}{8}} {18 \sin 4 t dt = \frac{9}{2}} ∴2s=9\therefore 2 s = 9

태그

#이동거리#매개변수

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