미적분Ⅱ여러 가지 미분법수능 기출기본 문제 (3점 중반)

매개변수 미분

문제

매개변수 tt(t>0)\left( t > 0 \right)으로 나타내어진 곡선 x=t2ln⁡t+3tx = t ^{2} \ln t + 3 t, y=6tet−1y = 6 te ^{t - 1} 에서 t=1t = 1일 때, dydx\displaystyle \frac{dy}{dx}의 값은? [3점] ①11②22③33④44⑤55

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③

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해설

[출제의도] 매개변수로 나타내어진 함수의 미분법 이해하기 dxdt=2tln⁡t+t+3\displaystyle \frac{dx}{dt} = 2 t \ln t + t + 3 dydt=6et−1+6tet−1=6et−1(1+t)\displaystyle \frac{dy}{dt} = 6 e ^{t - 1} + 6 te ^{t - 1} = 6 e ^{t - 1} \left( 1 + t \right) dydx=dydtdxdt=6et−1(1+t)2tln⁡t+t+3\displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}} = \frac{6 e ^{t - 1} \left( 1 + t \right)}{2 t \ln t + t + 3} (2tln⁡t+t+3≠0)\left( 2 t \ln t + t + 3 \ne 0 \right) 따라서 t=1t = 1일 때, dydx=6×21+3=124=3\displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac{6 \times 2}{1 + 3} = \frac{12}{4} = 3

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#매개변수 미분법

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