미적분Ⅱ여러 가지 미분법수능 기출기본 문제 (3점 중반)

매개변수 미분

문제

매개변수 t(t>0)t ( t > 0 )으로 나타내어진 함수 x=t+t\displaystyle x = t + \sqrt{t}, y=t3+1t\displaystyle y = t ^{3} + \frac{1}{t} 에서 t=1t = 1일 때, dydx\displaystyle \frac{dy}{dx}의 값은? [3점] ①23\displaystyle \frac{2}{3}②11③43\displaystyle \frac{4}{3}④53\displaystyle \frac{5}{3}⑤22

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③

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해설

[출제의도] 매개변수로 나타내어진 함수의 미분 이해하기 dxdt=1+12t\displaystyle \frac{dx}{dt} = 1 + \frac{1}{2 \sqrt{t}}, dydt=3t2−1t2\displaystyle \frac{dy}{dt} = 3 t ^{2} - \frac{1}{t ^{2}}이므로 dydx=dydtdxdt=3t2−1t21+12t\displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}} = \frac{3 t ^{2} - \frac{1}{t ^{2}}}{1 + \frac{1}{2 \sqrt{t}}} 따라서 t=1t = 1일 때, dydx=43\displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac{4}{3}

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#매개변수 미분법

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