미적분Ⅱ여러 가지 미분법수능 기출기본 문제 (3점 중반)

매개변수 미분

문제

매개변수 θ\theta로 나타내어진 함수 {x=2sin⁡θ−1y=4cos⁡θ+3\displaystyle {\begin{cases} x = 2 \sin \theta - 1 \\ y = 4 \cos \theta + \sqrt{3} \end{cases}} 에 대하여 θ=π3\displaystyle \theta = \frac{\pi}{3}일 때, dydx\displaystyle \frac{dy}{dx}의 값은? [3점] ①−23\displaystyle - 2 \sqrt{3}②−22\displaystyle - 2 \sqrt{2}③−3\displaystyle - \sqrt{3}④−2\displaystyle - \sqrt{2}⑤−22\displaystyle - \frac{\sqrt{2}}{2}

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①

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해설

[출제의도] 매개변수로 나타내어진 함수의 미분계수를 구한다. x=2sin⁡θ−1x = 2 \sin \theta - 1, y=4cos⁡θ+3\displaystyle y = 4 \cos \theta + \sqrt{3}에서 dxdθ=2cos⁡θ\displaystyle \frac{dx}{d \theta} = 2 \cos \theta, dydθ=−4sin⁡θ\displaystyle \frac{dy}{d \theta} = \mathit{-} 4 \sin \theta이므로 dydx=dydθdxdθ\displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{d \theta}}{\frac{dx}{d \theta}}=−4sin⁡θ2cos⁡θ\displaystyle = \frac{- 4 \sin \theta}{2 \cos \theta}=−2tan⁡θ= \mathit{-} 2 \tan \theta 따라서 θ=π3\displaystyle \theta = \frac{\pi}{3}일 때, dydx\displaystyle \frac{dy}{dx}의 값은 −2tan⁡π3=−23\displaystyle - 2 \tan \frac{\pi}{3} = \mathit{-} 2 \sqrt{3}

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#매개변수#미분법

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