매개변수 곡선의 접선 기울기

곡선 $C$가 직선 $y = 3 x - 5 e$와 만나는 점이 ${\mathrm{P}}$이므로 $x = e ^{4 t} \left( 1 + \sin ^{2} \pi t \right)$, $y = e ^{4 t} \left( 1 - 3 \cos ^{2} \pi t \right)$ 를 직선의 방정식에 대입하면 $e ^{4 t} \left( 1 - 3 \cos ^{2} \pi t \right) = 3 e ^{4 t} \left( 1 + \sin ^{2} \pi t \right) - 5 e$ $\sin ^{2} \pi t + \cos ^{2} \pi t = 1$이므로 $\cos ^{2} \pi t = 1 - \sin ^{2} \pi t$를 대입하면 $e ^{4 t} \left\{ 1 - 3 \left( 1 - \sin ^{2} \pi t \right) \right\} = 3 e ^{4 t} \left( 1 + \sin ^{2} \pi t \right) - 5 e$ $e ^{4 t} \left( - 2 + 3 \sin ^{2} \pi t \right) = 3 e ^{4 t} \left( 1 + \sin ^{2} \pi t \right) - 5 e$ $- 2 e ^{4 t} = 3 e ^{4 t} - 5 e$, $e ^{4 t} = e$ $4 t = 1$이므로 $\displaystyle t = \frac{1}{4}$ 곡선 $C$ 위의 점 ${\mathrm{P}}$에서의 접선의 기울기는 $\displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}$ $x = e ^{4 t} \left( 1 + \sin ^{2} \pi t \right)$에서 $\displaystyle \frac{dx}{dt}$$= 4 e ^{4 t} \left( 1 + \sin ^{2} \pi t \right) + e ^{4 t} \left( 2 \pi \sin \pi t \cos \pi t \right)$ $= 4 e ^{4 t} \left( 1 + \sin ^{2} \pi t \right) + \pi e ^{4 t} \sin \left( 2 \pi t \right)$ $y = e ^{4 t} \left( 1 - 3 \cos ^{2} \pi t \right)$에서 $\displaystyle \frac{dy}{dt}$$= 4 e ^{4 t} \left( 1 - 3 \cos ^{2} \pi t \right) + e ^{4 t} \left( 6 \pi \cos \pi t \sin \pi t \right)$ $= 4 e ^{4 t} \left( 1 - 3 \cos ^{2} \pi t \right) + 3 \pi e ^{4 t} \sin \left( 2 \pi t \right)$ $\displaystyle t = \frac{1}{4}$일 때, $\displaystyle \sin \left( \pi t \right) = \sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $\displaystyle \cos \left( \pi t \right) = \cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ $\displaystyle \sin \left( 2 \pi t \right) = \sin \frac{\pi}{2} = 1$ 이므로 $\displaystyle \sin ^{2} \left( \pi t \right) = \frac{1}{2}$, $\displaystyle \cos ^{2} \left( \pi t \right) = \frac{1}{2}$ $\displaystyle e ^{4 t} = e ^{4 \times \frac{1}{4}} = e$ 따라서 $\displaystyle t = \frac{1}{4}$일 때 $\displaystyle \frac{dx}{dt}$와 $\displaystyle \frac{dy}{dt}$의 값은 $\displaystyle \frac{dx}{dt} = 4 e \left( 1 + \frac{1}{2} \right) + \pi e \times 1 = 6 e + \pi e = e \left( \pi + 6 \right)$ $\displaystyle \frac{dy}{dt}$$\displaystyle = 4 e \left( 1 - 3 \times \frac{1}{2} \right) + 3 \pi e \times 1$$\displaystyle = 4 e \left( - \frac{1}{2} \right) + 3 \pi e$ $= - 2 e + 3 \pi e$$= e \left( 3 \pi - 2 \right)$ 점 ${\mathrm{P}}$에서의 접선의 기울기는 $\displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac{e \left( 3 \pi - 2 \right)}{e \left( \pi + 6 \right)} = \frac{3 \pi - 2}{\pi + 6}$