매개변수 곡선의 기울기

$\displaystyle \frac{dx}{dt} = 2 e ^{t} + 3 e ^{- t}$, $\displaystyle \frac{dy}{dt} = 2 e ^{t} - 6 e ^{- t}$이므로 $\displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}} = \frac{2 e ^{t} - 6 e ^{- t}}{2 e ^{t} + 3 e ^{- t}}$ $t = t _{1}$일 때, $\displaystyle \frac{dy}{dx}$의 값은 $\displaystyle - \frac{1}{5}$이므로 $\displaystyle \frac{2 e ^{t _{1}} - 6 e ^{- t _{1}}}{2 e ^{t _{1}} + 3 e ^{- t _{1}}} = - \frac{1}{5}$에서 $12 e ^{t _{1}} = 27 e ^{- t _{1}}$, $\displaystyle \left( e ^{t _{1}} \right) ^{2} = \frac{9}{4}$ $e ^{t _{1}} > 0$이므로 $\displaystyle e ^{t _{1}} = \frac{3}{2}$ $t _{1}$은 방정식 $2 e ^{t} + 6 e ^{- t} = k$의 한 근이므로 $\displaystyle 2 e ^{t _{1}} + 6 e ^{- t _{1}} = 2 \times \frac{3}{2} + 6 \times \frac{2}{3} = 7$에서 $k = 7$ 방정식 $2 e ^{t} + 6 e ^{- t} = 7$에서 $2 \left( e ^{t} \right) ^{2} - 7 e ^{t} + 6 = \left( 2 e ^{t} - 3 \right) \left( e ^{t} - 2 \right) = 0$이므로 $e ^{t _{2}} = 2$ $t = t _{2}$일 때, $\displaystyle \frac{dy}{dx}$의 값은 $\displaystyle \frac{2 e ^{t _{2}} - 6 e ^{- t _{2}}}{2 e ^{t _{2}} + 3 e ^{- t _{2}}} = \frac{2 \times 2 - 6 \times \frac{1}{2}}{2 \times 2 + 3 \times \frac{1}{2}} = \frac{2}{11}$이므로 $\displaystyle m = \frac{2}{11}$ 따라서 $\displaystyle k + m = 7 + \frac{2}{11} = \frac{79}{11}$