공통수학1복소수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

켤레복소수 거듭제곱 합

문제

복소수 zz의 켤레복소수 z‾=1i\displaystyle {\overline{z}} = \frac{1}{i}일 때, 1+2z+3z2+4z3+⋯+10z9=a+bi1 + 2 z + 3 z ^{2} + 4 z ^{3} + \cdots + 10 z ^{9} = a + bi 를 만족하는 두 실수 a,ba , b에 대하여 두 수의 곱 abab의 값을 구하시오. (단, i=−1\displaystyle i = \sqrt{- 1}) [4점]

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30

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해설

[출제의도] 켤레복소수의 성질을 이해하고 식의 값 계산하기 z‾=1i=ii2=−i\displaystyle {\overline{z}} = \frac{1}{i} = \frac{i}{i ^{2}} = \mathit{-} i이므로 z=iz = i 1+2z+3z2+4z3+⋯+10z91 + 2 z + 3 z ^{2} + 4 z ^{3} + \cdots + 10 z ^{9} =1+2i+3i2+4i3+⋯+10i9= 1 + 2 i + 3 i ^{2} + 4 i ^{3} + \cdots + 10 i ^{9} =1+2i−3−4i+5+6i−7−8i+9+10i= 1 + 2 i - 3 - 4 i + 5 + 6 i - 7 - 8 i + 9 + 10 i =(1−3+5−7+9)+(2i−4i+6i−8i+10i)= \left( 1 - 3 + 5 - 7 + 9 \right) + \left( 2 i - 4 i + 6 i - 8 i + 10 i \right) =5+6i= 5 + 6 i ∴ab=30\therefore ab = 30

태그

#i 의 거듭제곱

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