코사인이 들어간 수열 보기

ㄱ. (반례) $\displaystyle a _{3k} = \frac{1}{2 ^{3k-1}} \cos {\frac{( 3 k - 1 ) \pi}{2}}$에 $k = 2$를 대입하면 $\displaystyle a _{6} = \frac{1}{2 ^{5}} \cos {\frac{5 \pi}{2}} = \frac{1}{2 ^{5}} \cdot 0 = 0$ (거짓) ㄴ. $\displaystyle a _{4k-1} = \frac{1}{2 ^{4 k - 2}} \cos {\frac{( 4 k - 2 ) \pi}{2}}$ $\displaystyle = \frac{1}{2 ^{4 k - 2}} \cos {{( 2 k - 1 ) \pi}} = - \frac{1}{2 ^{4k-2}}$, $\displaystyle b _{4k-1} = \frac{1 + ( - 1 ) ^{4 k - 2}}{2 ^{4 k - 1}}$$\displaystyle = \frac{2}{2 ^{4 k - 1}} = \frac{1}{2 ^{4 k - 2}}$이므로 $a _{4k-1} + b _{4k-1} = 0$ (참) ㄷ. $\displaystyle \left\{ a _{n} \right\} : 1 , 0 , - \frac{1}{4} , 0 , \frac{1}{16} , 0 , \cdots$이므로 $\displaystyle \sum\limits _{n=1} ^{\infty} a _{n} = \frac{1}{1 - \left( - \frac{1}{4} \right)}$$\displaystyle = \frac{4}{5}$ $\displaystyle b _{n} : 1 , 0 , \frac{1}{4} , 0 , \frac{1}{16} , 0 , \cdots$이므로 $\displaystyle \sum\limits _{n=1} ^{\infty} b _{n} = \frac{1}{1 - \frac{1}{4}} = \frac{4}{3}$ 따라서 $\displaystyle \frac{4}{5} = \frac{3}{5} \cdot \frac{4}{3}$이므로 $\displaystyle \sum\limits _{n=1} ^{\infty} a _{n} = \frac{3}{5} \sum\limits _{n=1} ^{\infty} b _{n}$ (참) 이상에서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다.