대수삼각함수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

코사인함수의 방정식과 근의 합

문제

폐구간 [0,8π][ 0 , 8 \pi ]에서 cos⁡x2=13\displaystyle \cos \frac{x}{2} = \frac{1}{3}일 때, 모든 근의 합은?

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16π16 \pi

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해설

0≤x≤8π0 \leq x \leq 8 \pi이므로 0≤x2(=θ)≤4π\displaystyle 0 \leq \frac{x}{2} ( = \theta ) \leq 4 \pi cos⁡θ=13\displaystyle \cos \theta = \frac{1}{3}을 만족하는 11사분면의 각 θ\theta를 α\alpha라 하면 코사인 함수의 개형으로부터 구간 [0,4π][ 0 , 4 \pi ]에 있는 θ\theta값은 2π−α,2π+α,4π−α2 \pi - \alpha , 2 \pi + \alpha , 4 \pi - \alpha 로 나타낼 수 있다. x=2θx = 2 \theta이므로 xx값은 2α2 \alpha, 4π−2α4 \pi - 2 \alpha, 4π+2α4 \pi + 2 \alpha, 8π−2α8 \pi - 2 \alpha 이다. 따라서, 모든 근 xx의 합은 16π16 \pi

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#삼각방정식#코사인함수의 그래프

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