코사인함수 최대최소

$\displaystyle a \cos \left( bx - \frac{\pi}{4} \right) = a \cos b \left( x - \frac{\pi}{4 b} \right)$이므로 함수 $\displaystyle f \left( x \right) = a \cos \left( bx - \frac{\pi}{4} \right)$의 그래프는 함수 $y = a \cos bx$의 그래프를 $x$축의 방향으로 $\displaystyle \frac{\pi}{4 b}$만큼 평행이동한 그래프와 일치한다. 함수 $y = a \cos bx$의 주기는 $\displaystyle \frac{2 \pi}{b}$이므로 함수 $f \left( x \right)$의 그래프의 개형은 다음과 같다.

$0 \leq x \leq \pi$에서 함수 $f \left( x \right)$의 최솟값이 음수이므로 $\displaystyle \frac{3}{4 b} \pi < \pi$ $\cdots$$\cdots$ ㉠ 함수 $f \left( x \right)$의 최댓값이 $4$이므로 $a = 4$ $\displaystyle \frac{5}{4 b} \pi \leq \pi$일 때, 함수 $f \left( x \right)$의 최솟값이 $\displaystyle - 4 \left( \neq - 2 \sqrt{2} \right)$이므로 $\displaystyle \pi < \frac{5}{4 b} \pi$ $\cdots$$\cdots$ ㉡ ㉠, ㉡에 의하여 $0 \leq x \leq \pi$에서 함수 $f \left( x \right)$가 $x = \pi$일 때, 최솟값 $\displaystyle - 2 \sqrt{2}$를 갖는다. $\displaystyle \frac{3}{4 b} \pi < \pi < \frac{5}{4 b} \pi$이므로 $\displaystyle \frac{\pi}{2} < b \pi - \frac{\pi}{4} < \pi$ $\displaystyle f \left( \pi \right) = 4 \cos \left( b \pi - \frac{\pi}{4} \right) = - 2 \sqrt{2}$ $\displaystyle \cos \left( b \pi - \frac{\pi}{4} \right) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ $\displaystyle b \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3}{4} \pi$, $b = 1$ $a + b = 5$