코사인함수 최대최소

[출제의도] 삼각함수의 그래프를 이용하여 추론하기 $\displaystyle \frac{\pi}{2} \leq x \leq a$인 $x$에 대하여 $\displaystyle \frac{3}{2} \pi + b \leq 3 x + b \leq 3 a + b$이므로 닫힌구간 $\displaystyle \left[ \frac{\pi}{2} , a \right]$에서 함수 $f ( x ) = 2 \cos ( 3 x + b )$의 최댓값, 최솟값은 각각 닫힌구간 $\displaystyle \left[ \frac{3}{2} \pi + b , 3 a + b \right]$에서 함수 $y = 2 \cos x$의 최댓값, 최솟값과 같다. 함수 $y = 2 \cos x$의 그래프는 그림과 같다.

$0 \leq b \leq \pi$인 $b$에 대하여 $\displaystyle \frac{3}{2} \pi \leq \frac{3}{2} \pi + b \leq \frac{5}{2} \pi$이므로 닫힌구간 $\displaystyle \left[ \frac{3}{2} \pi + b , 3 a + b \right]$에서 함수 $y = 2 \cos x$의 최댓값이 $\mathrm{1}$, 최솟값이 $\displaystyle - \sqrt{3}$이 되도록 하는 $a$, $b$는 $\displaystyle 2 \pi < \frac{3}{2} \pi + b < \frac{5}{2} \pi$, $\displaystyle \frac{5}{2} \pi < 3 a + b < 3 \pi$를 만족시켜야 한다. 닫힌구간 $\displaystyle \left[ \frac{3}{2} \pi + b , 3 a + b \right]$에서 함수 $y = 2 \cos x$는 $x$의 값이 증가하면 $y$의 값은 감소하므로 닫힌구간 $\displaystyle \left[ \frac{3}{2} \pi + b , 3 a + b \right]$에서 함수 $y = 2 \cos x$의 최댓값은 $\displaystyle 2 \cos \left( \frac{3}{2} \pi + b \right)$, 최솟값은 $2 \cos ( 3 a + b )$이다. $\displaystyle 2 \cos \left( \frac{3}{2} \pi + b \right) = 1$에서 $\displaystyle \frac{3}{2} \pi + b = \frac{7}{3} \pi$, $\displaystyle b = \frac{5}{6} \pi$ $\displaystyle 2 \cos \left( 3 a + b \right) = - \sqrt{3}$에서 $\displaystyle 3 a + b = \frac{17}{6} \pi$, $\displaystyle a = \frac{2}{3} \pi$ $\displaystyle a \times b = \frac{2}{3} \pi \times \frac{5}{6} \pi = \frac{5}{9} \pi ^{2}$ 따라서 $p = 9$, $q = 5$이며 $p + q = 14$