미적분Ⅱ여러 가지 미분법수능 기출기본 문제 (3점 중반)

코사인 덧셈정리

문제

sin⁡α=13\displaystyle \sin \alpha = \frac{1}{3}일 때, cos⁡(π3+α)\displaystyle \cos \left( \frac{\pi}{3} + \alpha \right)의 값은? (단, 0<α<π2\displaystyle 0 < \alpha < \frac{\pi}{2}) [3점] ①22−36\displaystyle \frac{2 \sqrt{2} - \sqrt{3}}{6}②2−36\displaystyle \frac{2 - \sqrt{3}}{6}③2−13\displaystyle \frac{\sqrt{2} - 1}{3}④3−23\displaystyle \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{3}⑤3−13\displaystyle \frac{\sqrt{3} - 1}{3}

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①

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해설

sin⁡α=13\displaystyle \sin \alpha = \frac{1}{3}이고 0<α<π2\displaystyle 0 < \alpha < \frac{\pi}{2}이므로 cos⁡α=1−sin⁡2α\displaystyle \cos \alpha = \sqrt{1 - \sin ^{2} \alpha}=1−19\displaystyle = \sqrt{1 - \frac{1}{9}}=223\displaystyle = \frac{2 \sqrt{2}}{3} ∴cos⁡(π3+α)=cos⁡π3cos⁡α−sin⁡π3sin⁡α\displaystyle \therefore \cos \left( \frac{\pi}{3} + \alpha \right) = \cos \frac{\pi}{3} \cos \alpha - \sin \frac{\pi}{3} \sin \alpha =12×223−32×13\displaystyle = \frac{1}{2} \times \frac{2 \sqrt{2}}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2} \times \frac{1}{3}=22−36\displaystyle = \frac{2 \sqrt{2} - \sqrt{3}}{6}

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#삼각함수의 덧셈정리

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