코사인 방정식 실근

방정식 $\displaystyle \left( \cos b \pi x - \frac{1}{2} \right) \left( a \cos b \pi x + \frac{a + 2}{2} \right) = 0$에서 $\displaystyle \cos b \pi x = \frac{1}{2}$ 또는 $\displaystyle \cos b \pi x = - \frac{a + 2}{2 a}$ $\cdots$$\cdots$ ㉠ $f \left( x \right) = \cos b \pi x$라 하면 함수 $f \left( x \right)$의 주기는 $\displaystyle \frac{2 \pi}{b \pi} = \frac{2}{b}$ 방정식 ㉠의 실근의 개수는 함수 $y = f \left( x \right)$의 그래프와 두 직선 $\displaystyle y = \frac{1}{2}$, $\displaystyle y = - \frac{a + 2}{2 a}$의 교점의 개수의 합과 같다. $0 \leq x \leq 2$일 때, 함수 $y = f \left( x \right)$의 그래프는 주기가 $\displaystyle \frac{2}{b}$인 모양이 $b$번 반복된다. (ⅰ) $0 \leq x \leq 2$에서 $y = f \left( x \right)$의 그래프와 직선 $\displaystyle y = \frac{1}{2}$의 교점의 개수를 구하면 한 주기 $\displaystyle \left[ 0 , \frac{2}{b} \right)$에서 교점은 $2$개씩 생기고, $x = 2$일 때 $\displaystyle f \left( 2 \right) = \cos 2 b \pi = 1 \neq \frac{1}{2}$이므로 교점이 없다. 따라서 함수 $y = f \left( x \right)$의 그래프와 직선 $\displaystyle y = \frac{1}{2}$과의 교점의 개수는 $2 b$이다. (ⅱ) 직선 $\displaystyle y = - \frac{a + 2}{2 a}$와의 교점의 개수를 구하면 양수 $a$에 대하여 $\displaystyle - \frac{a + 2}{2 a} = - \frac{1}{2} - \frac{1}{a} < - \frac{1}{2}$ 전체 실근의 개수가 $15$개로 홀수이므로, 함수 $y = f \left( x \right)$의 그래프와 직선 $\displaystyle y = - \frac{a + 2}{2 a}$와의 교점의 개수는 홀수여야 한다. 만약 $\displaystyle - 1 < - \frac{a + 2}{2 a} < - \frac{1}{2}$이면, 직선과의 교점의 개수는 $2 b$로 짝수가 되어 전체 실근의 개수가 짝수가 되므로 조건을 만족시키지 못한다. 또한 $\displaystyle - \frac{a + 2}{2 a} < - 1$, 즉 $a < 2$이면 교점이 존재하지 않으므로 전체 실근의 개수가 $2 b$로 짝수가 되어 조건을 만족시키지 못한다. 따라서 교점의 개수가 홀수가 되기 위해서는 반드시 $\displaystyle - \frac{a + 2}{2 a} = - 1$이어야 한다. $\displaystyle - \frac{a + 2}{2 a} = - 1$에서 $a + 2 = 2 a$ $\therefore$$a = 2$

$a = 2$일 때, 직선 $y = - 1$과 $y = f \left( x \right)$의 교점의 개수를 구하면 한 주기 $\displaystyle \left[ 0 , \frac{2}{b} \right)$에서 $f \left( x \right) = - 1$의 해는 $\displaystyle x = \frac{1}{b}$로 $1$개 존재하고, $x = 2$일 때 $f \left( 2 \right) = 1 \neq - 1$이므로 교점이 없다. 따라서 함수 $y = f \left( x \right)$의 그래프와 직선 $y = - 1$과의 교점의 개수는 총 $b$이다. (ⅰ), (ⅱ)에 의하여 전체 실근의 개수는 $2 b + b = 3 b$ $3 b = 15$에서 $b = 5$ 따라서 $a = 2$, $b = 5$이므로 $a + b = 2 + 5 = 7$