꼭짓점 공유 포물선

[출제의도] 이차함수의 성질과 삼각형의 넓이를 이용하여 함수의 식을 구한다. 이차함수 $y = \mathit{-} x ^{2} + 2 x$에서 $y$$= \mathit{-} x ^{2} + 2 x$$= \mathit{-} \left( x - 1 \right) ^{2} + 1$ 이므로 꼭짓점 $\mathrm{A}$의 좌표는 $\mathrm{A} ( 1 , 1 )$이다. 이차함수 $y = ax ^{2} + bx + c$($a > 0$)의 꼭짓점의 좌표가 $( 1 , 1 )$이므로 $y$$= ax ^{2} + bx + c$$= a \left( x - 1 \right) ^{2} + 1$$= ax ^{2} - 2 ax + a + 1$ 따라서 $b = \mathit{-} 2 a$, $c = a + 1$ $\cdots \cdots \text{㉠}$ 이차함수 $y = ax ^{2} + bx + c$의 그래프가 $y$축과 만나는 점이 $( 0 , c )$이므로 점 $\mathrm{B}$의 좌표는 $\mathrm{B} ( 0 , \mathit{c} )$($c > 1$)이다. 두 점 $\mathrm{B}$와 $\mathrm{C}$는 $y$좌표가 같고, 이차함수 $y = ax ^{2} + bx + c$의 그래프의 축인 직선 $x = 1$에 대하여 대칭이므로 점 $\mathrm{C}$의 좌표는 $\mathrm{C} ( 2 , \mathit{c} )$이다. 두 점 $\mathrm{A}$와 $\mathrm{C}$를 지나는 직선은 기울기가 $\displaystyle \frac{c - 1}{2 - 1} = c - 1$이고 점 $\left( 1 , 1 \right)$을 지나므로 직선의 방정식은 $y = \left( c - 1 \right) x + 2 - c$이다. 직선의 $y$절편이 $2 - c$이므로 점 $\mathrm{D}$의 좌표는 $\mathrm{D} ( 0 , \mathit{2} - c )$이다. $\displaystyle \mathrm{\overline{BC}} = 2$, $\displaystyle \mathrm{\overline{BD}} = 2 c - 2$이므로 삼각형 $\mathrm{BDC}$의 넓이는 $\displaystyle \frac{1}{2} \times 2 \times \left( 2 c - 2 \right) = 12$ $2 c - 2 = 12$ $2 c = 14$ $c = 7$ $\text{㉠}$에서 $a = 6$, $b = \mathit{-} 12$ 따라서 $2 a - b + c$$= 12 + 12 + 7$$= 31$