공통수학1행렬과 그 연산수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

케일리-헤밀턴과 무한등비급수

문제

행렬 A=(−14−3434−14)\displaystyle A = \begin{pmatrix} - \frac{1}{4} & - \frac{\sqrt{3}}{4} \\ \frac{\sqrt{3}}{4} & - \frac{1}{4} \end{pmatrix}에 대하여 AnA ^{n}의 모든 성분의 합을 ana _{n}이라 할 때, ∑n=1∞an\displaystyle \sum\limits _{n=1} ^{\infty} a _{n} 의 값을 구하면?

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−47\displaystyle - \frac{4}{7}

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해설

케일리-헤밀턴 정리에 의해 A2+12A+14E=O\displaystyle A ^{2} + \frac{1}{2} A + \frac{1}{4} E = O , 즉, A2=−12A−14E\displaystyle A ^{2} = - \frac{1}{2} A - \frac{1}{4} E, A3=−12A2−14A=18E\displaystyle A ^{3} = - \frac{1}{2} A ^{2} - \frac{1}{4} A = \frac{1}{8} E 그러므로 ∑k=1∞Ak=A+A2+A3+A4+A5+A6+⋯\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{\infty} A _{k} = A + A ^{2} + A ^{3} + A ^{4} + A ^{5} + A ^{6} + \cdots =(A+A2+A3)+18E(A+A2+A3)+⋯\displaystyle = ( A + A ^{2} + A ^{3} ) + \frac{1}{8} E ( A + A ^{2} + A ^{3} ) + \cdots =(1+18+182+⋯ )(A+A2+A3)\displaystyle = \left( 1 + \frac{1}{8} + \frac{1}{8 ^{2}} + \cdots \right) \left( A + A ^{2} + A ^{3} \right) 여기서, A+A2+A3=A+(−12A−14E)+(18E)=12A−18E\displaystyle A + A ^{2} + A ^{3} = A + \left( - \frac{1}{2} A - \frac{1}{4} E \right) + \left( \frac{1}{8} E \right) = \frac{1}{2} A - \frac{1}{8} E 이고, 성분의 합은 −12\displaystyle - \frac{1}{2}이다. 따라서 수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}은 초항이 −12\displaystyle - \frac{1}{2}이고, 공비가 18\displaystyle \frac{1}{8}인 무한등비급수이다. ∑n=1∞an=−121−18=−47\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} {a _{n}} = \frac{- \frac{1}{2}}{1 - \frac{1}{8}} = - \frac{4}{7}

태그

#케일리-헤밀턴 정리#무한등비급수

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