공통수학1행렬과 그 연산수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

케일리-헤밀턴 정리로 행렬 A³ 구하기

문제

A=(−1a0−1)\displaystyle A = \begin{pmatrix} - 1 & a \\ 0 & - 1 \end{pmatrix}일 때, A3A ^{3}의 모든 원소의 합이 44이다. 이 때, aa의 값은?

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해설

케일리-헤밀턴 정리에 의하여 A2+2A+E=O,A2=−2A−E⋯A ^{2} + 2 A + E = O , A ^{2} = - 2 A - E \cdots(1) 식 (1)의 양변에 행렬 AA를 곱하면 A3=−2A2−A=−2(−2A−E)−A=3A+2EA ^{3} = - 2 A ^{2} - A = - 2 ( - 2 A - E ) - A = 3 A + 2 E 3A+2E=3(−1a0−1)+2(1001)=(−13a0−1)\displaystyle 3 A + 2 E = 3 \begin{pmatrix} - 1 & a \\ 0 & - 1 \end{pmatrix} + 2 \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} - 1 & 3 a \\ 0 & - 1 \end{pmatrix} 모든 성분의 합이 44이므로 3a−2=43 a - 2 = 4, ∴a=2\therefore a = 2

태그

#케일리-헤밀턴 정리#행렬의 거듭제곱

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