케일리-해밀턴 정리로 행렬 거듭제곱 구하기

행렬 $\mathrm{A}$에 대하여 케일리-헤밀턴 정리를 적용하면 $\mathrm{A} ^{2} - 3 E = O$, $\therefore \mathrm{A} ^{2} = 3 E$ 따라서, $\mathrm{A} ^{2n} = ( A ^{2} ) ^{n} = ( 3 E ) ^{n} = 3 ^{n} E$ 행렬 $\mathrm{B}$의 경우 케일리-헤밀턴 정리에 의해서 $\mathrm{B} ^{2} + E = O$, $\therefore \mathrm{B} ^{2} = - E$ $\therefore \mathrm{B} \mathit{^{39}} = ( \mathrm{B} \mathit{^{2}} ) ^{19} \cdot \mathrm{B} = - B$ 따라서, $\displaystyle \mathrm{A} ^{\mathit{2} n} + \mathrm{B} ^{\mathit{39}} = 3 ^{n} \cdot \mathrm{E} - B = \mathit{\begin{pmatrix} 3 ^{n} & 0 \\ 0 & 3 ^{n} \end{pmatrix}} - \begin{pmatrix} 0 & - 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ $\displaystyle = \begin{pmatrix} 3 ^{n} & 1 \\ - 1 & 3 ^{n} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 81 & 1 \\ - 1 & 81 \end{pmatrix}$ $\therefore n = 4$