칸 채우기 지수 곱

[출제의도] 지수법칙을 이용하여 문제를 해결할 수 있다. $2 ^{x} \left( \text{단} , x \in \left\{ 2 , 3 , \cdots , 8 \right\} \right)$을 (가)에 쓸 수 있는 수라 하자. 가로의 곱과 세로의 곱을 곱하면 $2 ^{2} \cdot 2 ^{3} \cdot 2 ^{4} \cdot 2 ^{5} \cdot 2 ^{6} \cdot 2 ^{7} \cdot 2 ^{8} \cdot 2 ^{x} = 2 ^{35 + x}$ $2 ^{35 + x}$는 완전제곱수이므로 $x$는 홀수이다. i) $x = 3$인 경우 세로의 곱은 $\displaystyle \left( 2 ^{35+3} \right) ^{\frac{1}{2}} = 2 ^{19}$이지만, (가)에 $2 ^{3}$을 쓰면 위, 아래 칸의 곱이 $2 ^{16}$이 되지 못하므로 성립하지 않는다. ii) $x = 5$일 경우 세로의 곱은 $\displaystyle \left( 2 ^{35+5} \right) ^{\frac{1}{2}} = 2 ^{20}$이고, 이 경우는 (가)의 위, 아래 칸에 $2 ^{7}$과 $2 ^{8}$을 쓰면 된다. iii) $x = 7$일 경우 세로의 곱은 $\displaystyle \left( 2 ^{35+7} \right) ^{\frac{1}{2}} = 2 ^{21}$이고, 이 경우는 (가)의 위, 아래 칸에 $2 ^{6}$과 $2 ^{8}$을 쓰면 된다. 따라서, i), ii), iii)에서 $2 ^{5} \cdot 2 ^{7} = 2 ^{12}$