확률과 통계조건부확률수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

카드와 이항확률

문제

nn쌍의 부부로 구성된 어느 모임의 모든 사람에게 1, 2, 3 중의 한 숫자가 적힌 카드를 한 장씩 임의로 나누어준 후, 카드를 받은 사람들이 1, 2, 3 중의 한 숫자를 임의로 적도록 한다. 남편이 적은 수가 아내가 받은 카드에 적힌 수와 일치하고, 아내가 적은 수가 남편이 받은 카드에 적힌 수와 일치하는 부부에게만 상품을 주기로 한다. 상품을 받는 부부가 2쌍 이하일 확률이 5732(89)n\displaystyle \frac{57}{32} \left( \frac{8}{9} \right) ^{n}일 때, 자연수 nn의 값은? [4점] ①4②5③6④7⑤8

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②

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해설

1쌍의 부부가 상품을 받을 확률은 19\displaystyle \frac{1}{9}이므로 nC0(89)n+nC1(19)(89)n−1+nC2(19)2(89)n−2\displaystyle {} _{n} C _{0} \left( \frac{8}{9} \right) ^{n} + _{n} C _{1} \left( \frac{1}{9} \right) \left( \frac{8}{9} \right) ^{n - 1} + _{n} C _{2} \left( \frac{1}{9} \right) ^{2} \left( \frac{8}{9} \right) ^{n - 2} =(1+n8+n(n−1)64)(89)n=5732(89)n\displaystyle = \left( 1 + \frac{n}{8} + \frac{n ( n - 1 )}{64} \right) \left( \frac{8}{9} \right) ^{n} = \frac{57}{32} \left( \frac{8}{9} \right) ^{n} 64+8n+n(n−1)=2×5764 + 8 n + n ( n - 1 ) = 2 \times 57 n2+15n−100=(n−5)(n+20)=0n ^{2} + 15 n - 100 = ( n - 5 ) ( n + 20 ) = 0 ∴n=5\therefore n = 5

태그

#이항확률#조합

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