대수수학적 귀납법수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

카드탑 카드 수

문제

다음은 $n$ 층 카드탑에 대한 설명이다.


	Ⅰ. $1$ 층 카드탑 : 두 장의 카드를 맞대어 세운 것. Ⅱ. $2$ 층 카드탑 : $1$ 층 카드탑 두 개를 나란히 세우고 그 위에 가로로 한 장의 카드를 올려놓은 후 그 위에 $1$ 층 카드탑을 쌓은 것. Ⅲ. 3층 카드탑 : 1층 카드탑 세 개를 나란히 세우고 그 위에 가로로 두 장의 카드를 올려놓은 후 그 위에 $2$ 층 카드탑을 쌓은 것. Ⅳ. $n$ 층 카드탑 : 1층 카드탑 $n$ 개를 나란히 세우고 그 위에 가로로 $( n - 1 )$ 장의 카드를 올려놓은 후 그 위에 $\left( n - 1 \right)$ 층 카드탑을 쌓은 것.

1층 카드탑
2층 카드탑
3층 카드탑
$\vdots$	$\vdots$

$n$ 층 카드탑을 만드는데 필요한 카드의 개수를 $a _{n}$ 이라 할 때, $a _{20}$ 의 값을 구하시오. [3점]

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610

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해설

[출제의도] 수열의 귀납적 정의를 이용하여 규칙성 추론하기 $a _{n + 1} = a _{n} + 2 ( n + 1 ) + n$ $a _{n + 1} = a _{n} + 3 n + 2$ 수열 $\left\{ a _{n} \right.$ 의 계차수열의 일반항 $b _{n} = 3 n + 2$ $\displaystyle a _{n} = 2 + \sum\limits _{k = 1} ^{n - 1} ( 3 k + 2 )$ $\displaystyle = \frac{n \left( 3 n + 1 \right)}{2}$ $a _{20} = 610$

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