카드를 뽑아 공을 옮기는 시행의 확률

$4$번의 시행 중에 확인한 수가 $1$이 나오는 횟수를 $x$, $2$ 또는 $3$이 나오는 횟수를 $y$, $4$가 나오는 횟수를 $z$라 하면 $x + y + z = 4$, $\cdots \cdots$ ㉠ $x + 2 y + 3 z = 8$ $\cdots \cdots$ ㉡ 를 만족시킨다. (단, $x$, $y$, $z$는 음이 아닌 정수) ㉡$-$㉠을 하면 $y + 2 z = 4$ $\cdots \cdots$ ㉢ ㉢을 만족시키는 $y$, $z$의 순서쌍 $\left( y , z \right)$는 $\left( 4 , 0 \right)$, $\left( 2 , 1 \right)$, $\left( 0 , 2 \right)$ ㉠에 의하여 순서쌍 $( x , y , z )$는 $\left( 0 , 4 , 0 \right)$, $\left( 1 , 2 , 1 \right)$, $\left( 2 , 0 , 2 \right)$ 이 중에서 상자 $\mathrm{B}$에 검은 공의 개수가 $2$인 경우는 $\left( 2 , 0 , 2 \right)$뿐이다. 순서쌍 $( x , y , z )$에 해당하는 사건이 발생할 확률을 $\mathrm{P} _{\mathit{\left( x , y , z \right)}}$라 하면 $\mathrm{P} _{\mathit{\left( x , y , z \right)}}$$\displaystyle = \frac{4 !}{x ! y ! z !} \left( \frac{1}{4} \right) ^{x} \left( \frac{1}{2} \right) ^{y} \left( \frac{1}{4} \right) ^{z}$ 따라서 구하고자 하는 확률은 $\displaystyle \frac{\mathrm{P} _{\mathit{\left( 2 , 0 , 2 \right)}}}{\mathrm{P} _{\mathit{\left( 0 , 4 , 0 \right)}} + \mathrm{P} _{\mathit{\left( 1 , 2 , 1 \right)}} + \mathrm{P} _{\mathit{\left( 2 , 0 , 2 \right)}}}$ $\displaystyle = \frac{\frac{4 !}{2 ! 2 !} \times \left( \frac{1}{4} \right) ^{2} \left( \frac{1}{4} \right) ^{2}}{1 \times \left( \frac{1}{2} \right) ^{4} + \frac{4 !}{2 !} \times \frac{1}{4} \left( \frac{1}{2} \right) ^{2} \frac{1}{4} + \frac{4 !}{2 ! 2 !} \times \left( \frac{1}{4} \right) ^{2} \left( \frac{1}{4} \right) ^{2}}$ $\displaystyle = \frac{3}{35}$