카드 조건부확률 빈칸

[출제의도] 조건부 확률을 이해하여 관련 문항을 해결할 수 있다. 임의로 $2$장의 카드를 선택하여 바닥에 놓을 때, 양면이 흰 색인 카드의 수가 $2$인 사건을 $A _{n}$, 양면이 흰 색인 카드의 수가 $1$인 사건을 $B _{n}$, 양면이 흰 색인 카드의 수가 $0$인 사건을 $C _{n}$이라 하자. 바닥에 놓인 두 카드의 보이는 면이 모두 흰 색인 사건을 $E _{n}$이라 하면 $\displaystyle \mathrm{P} \mathit{\mathrm{_{n}}} = \mathrm{P} \mathit{\left( A _{n} \right|} E _{n} ) = \frac{\mathrm{P} \mathit{\left( A _{n} \cap E _{n} \right)}}{\mathrm{P} \mathit{\left( E _{n} \right)}}$ 이다. $\mathrm{P} \mathit{\left( A _{n} \cap E _{n} \right)} =$$\displaystyle \frac{{} _{n} \mathrm{C} \mathit{_{2}}}{{} _{2 n} \mathrm{C} \mathit{_{2}}}$ $\mathrm{P} \mathit{\left( B _{n} \cap E _{n} \right)} =$$\displaystyle \frac{{{\square {{{} _{n} {\mathrm{C}} \mathit{_{1}} \times {{} _{n} \mathrm{C} \mathit{_{1}}}}}}} _{}}{{} _{2 n} \mathrm{C} \mathit{\mathrm{_{2}}}} \times \frac{1}{2}$ $\mathrm{P} \mathit{\left( C _{n} \cap E _{n} \right)} =$$\displaystyle \frac{{} _{n} \mathrm{C} \mathit{\mathrm{_{2}}}}{{} _{2 n} \mathrm{C} \mathit{_{2}}} \times {\square {\left( \frac{1}{2} \right) ^{2}}}$ 이고 $\mathrm{P} \mathit{\left( E _{n} \right)} = \mathrm{P} \mathit{\left( A _{n} \cap E _{n} \right)} + \mathrm{P} \mathit{\left( B _{n} \cap E _{n} \right)} + \mathrm{P} \mathit{\left( C _{n} \cap E _{n} \right)}$ 이다. 따라서 $\displaystyle \mathrm{P} \mathit{\mathrm{_{n}}} = \frac{4 ( n - 1 )}{{\square {9 n - 5}} ^{\mathit{}}}$ 이므로 $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\mathrm{P} \mathit{\mathrm{_{n}}}} \mathit{=} \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{4 ( n - 1 )}{\square {9 n - 5}}} = \frac{4}{9}$ 이다. 따라서 $\displaystyle f ( n ) = n ^{2} , g ( n ) = 9 n - 5 , a = \frac{1}{4}$이므로 $\displaystyle a \times f ( 4 ) \times g ( 3 ) = \frac{1}{4} \times 16 \times 22 = 88$