확률과 통계조건부확률수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

카드 조건부확률

문제

1,2,3,4,51 , 2 , 3 , 4 , 5의 숫자가 하나씩 적힌 카드가 각각 11장, 22장, 33장, 44장, 55장이 있다. 이 1515장의 카드 중에서 임의로 22장의 카드를 동시에 선택하는 시행을 한다. 이 시행에서 선택한 22장의 카드에 적힌 두 수의 곱의 모든 양의 약수의 개수가 33 이하일 때, 그 두 수의 합이 짝수일 확률은 qp\displaystyle \frac{q}{p}이다. p+qp + q의 값을 구하시오. (단, pp와 qq는 서로소인 자연수이다.) [4점]

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해설

[출제의도] 조건부확률을 활용하여 문제해결하기 두 수의 곱이 모든 양의 약수의 개수가 33 이하인 사건을 XX, 두 수의 합이 짝수인 사건을 YY라 하자. 사건 XX를 만족시키는 경우는 두 수 중 하나가 11이거나 두 수가 같은 소수일 때이다. (ⅰ) 두 수 중 하나가 11일 때 1C1×14C115C2\displaystyle \frac{{} _{1} \mathrm{C} _{1} \times _{14} \mathrm{C} _{1}}{{} _{15} \mathrm{C} _{2}}=215\displaystyle = \frac{2}{15} (ⅱ) 두 수가 같은 소수일 때 (1) 두 수가 22일 때 2C215C2\displaystyle \frac{{} _{2} \mathrm{C} _{2}}{{} _{15} \mathrm{C} _{2}}=1105\displaystyle = \frac{1}{105} (2) 두 수가 33일 때 3C215C2\displaystyle \frac{{} _{3} \mathrm{C} _{2}}{{} _{15} \mathrm{C} _{2}}=135\displaystyle = \frac{1}{35} (3) 두 수가 55일 때 5C215C2\displaystyle \frac{{} _{5} \mathrm{C} _{2}}{{} _{15} \mathrm{C} _{2}}=221\displaystyle = \frac{2}{21} (ⅰ), (ⅱ)에 의하여 P(X)\mathrm{P} \mathit{\left( X \right)}=415\displaystyle = \frac{4}{15} 두 사건 XX와 YY를 동시에 만족시키는 경우는 (ⅰ)에서 두 수가 1,31 , 3이거나 두 수가 1,51 , 5인 경우 또는 (ⅱ)인 경우이므로 P(X∩Y)\mathrm{P} \mathit{\left( X \cap Y \right)}=1C1×3C1+1C1×5C1+2C2+3C2+5C215C2\displaystyle = \frac{{} _{1} \mathrm{C} _{1} \times _{3} C _{1} + _{1} C _{1} \times _{5} C _{1} + _{2} C _{2} + _{3} C _{2} + _{5} C _{2}}{{} _{15} \mathrm{C} _{2}}=22105\displaystyle = \frac{22}{105} P(Y∣X)\mathrm{P} \mathit{\left( Y | X \right)}=P(X∩Y)P(X)\displaystyle = \frac{\mathrm{P} \mathit{\left( X \cap Y \right)}}{\mathrm{P} \mathit{\left( X \right)}}=1114\displaystyle = \frac{11}{14} 따라서 p+qp + q=25= 25

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#조건부확률#약수

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