카드 곱의 합이 3

$a _{n} = 1$ 또는 $a _{n} = - 1$이다. $\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{11} a _{n} = 3$이므로 $a _{n} = 1$인 $n$이 $7$개, $a _{n} = - 1$인 $n$이 $4$개 존재한다. $\square \triangle \square \triangle \square \triangle \square \triangle \square \triangle \square$에서 $6$개의 $\square$에 $1$이 적힌 카드를 한 장씩 놓고 $\triangle$와 $$에$- 1$이 적힌 카드를 놓는다고 하자. $\triangle$에 $- 1$이 적힌 카드를 적어도 한 장 놓으면 $a _{n} = - 1$인 자연수 $n$이 $2$개 나오고, $$에$- 1$이 적힌 카드를 적어도 한 장 놓으면 $a _{n} = - 1$인 자연수 $n$이 $1$개 나온다. $a _{n} = - 1$인 $n$이 $4$개 존재하려면 두 개의 $\triangle$에 $- 1$이 적힌 카드를 적어도 한 장씩 놓거나 한 개의 $\triangle$와 두 개의 $$에$- 1$이 적힌 카드를 적어도 한 장씩 놓아야 한다. (ⅰ) 두 개의 $\triangle$에 $- 1$이 적힌 카드를 적어도 한 장씩 놓는 경우 두 개의 $\triangle$를 택하는 경우의 수는 $\mathit{_{5}} {\mathrm{C}} \mathit{_{2}} = 10$ 두 개의 $\triangle$에 카드를 놓는 경우의 수는 $x _{1} + x _{2} = 6 \left( x _{1} \geq 1 , x _{2} \geq 1 \right)$을 만족시키는 정수 $x _{1}$, $x _{2}$의 모든 순서쌍 $\left( x _{1} , x _{2} \right)$의 개수와 같다. $x _{1}' = x _{1} - 1$, $x _{2}' = x _{2} - 1$이라 하면 $x _{1}' + x _{2}' = 4$를 만족시키는 음이 아닌 정수 $x _{1}'$, $x _{2}'$의 모든 순서쌍 $\left( x _{1}' , x _{2}' \right)$의 개수는 $\mathit{_{2}} {\mathrm{H}} \mathit{_{4}} = \mathit{_{2 + 4 - 1}} {\mathrm{C}} \mathit{_{4}} = \mathit{_{5}} {\mathrm{C}} \mathit{_{4}} = 5$ 구하는 경우의 수는 $10 \times 5 = 50$ (ⅱ) 한 개의 $\triangle$와 두 개의 $$에$- 1$이 적힌 카드를 적어도 한 장씩 놓는 경우 한 개의$\triangle$를 택하는 경우의 수는$\mathit{_{5}} {\mathrm{C}} \mathit{_{1}} = 5$ 한 개의 $\triangle$와 두 개의 $$에 카드를 놓는 경우의 수는$x _{1} + x _{2} + x _{3} = 6 \left( x _{1} \geq 1 , x _{2} \geq 1 , x _{3} \geq 1 \right)$을 만족시키는 정수$x _{1}$,$x _{2}$,$x _{3}$의 모든 순서쌍$\left( x _{1} , x _{2} , x _{3} \right)$의 개수와 같다. $x _{1}' = x _{1} - 1$, $x _{2}' = x _{2} - 1$, $x _{3}' = x _{3} - 1$이라 하면 $x _{1}' + x _{2}' + x _{3}' = 3$을 만족시키는 음이 아닌 정수 $x _{1}'$, $x _{2}'$, $x _{3}'$의 모든 순서쌍 $\left( x _{1}' , x _{2}' , x _{3}' \right)$의 개수는 $\mathit{_{3}} {\mathrm{H}} \mathit{_{3}} = \mathit{_{3 + 3 - 1}} {\mathrm{C}} \mathit{_{3}} = \mathit{_{5}} {\mathrm{C}} \mathit{_{3}} = 10$ 구하는 경우의 수는 $5 \times 10 = 50$ (ⅰ), (ⅱ)에 의하여 구하는 경우의 수는 $50 + 50 = 100$